極限の問題です！

質問

極限の問題です(> <)

L1:y=ax+e^(-a)
L2:y=bx+e^(-b)

の交点を求めて、
bを限りなくaに近づける
ときにどんな点に近づくか
というのを求める問題です。

交点はもとまったのですが
限りなく近づけるほうが
できません。

解答のやり方では、
ｘを限りなくちかづけて
ｙに代入するという方法ですが

lim(b→a) { -e^(-b)+e^(-a) }/ b-a

これが
微分係数の式の形をしてるから
f ' (a)=e^(-a)

となるらしいのですが
bの関数として見てる気がして
なんか納得いきません。

教えて下さい…！
よろしくお願いします！！

ちなみにこたえは
(e^(-a) , (a+1)e^(-a))です。

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

２直線の交点のx座標は-{e^(-b)-e^(-a)}/(b-a)。

それでbを限りなくaに近づけるから、x座標はlim[b→a]を使って、
lim[b→a]-{e^(-b)-e^(-a)}/(b-a)
=-lim[b→a]{e^(-b)-e^(-a)}/(b-a)・・・(1)
となります。

ここでy=f(x)の微分係数の定義を確認すると、
x=aにおける微分係数f'(a)は定義より、
f'(a)=lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
またはxとbを置き換えて、
f'(a)=lim[b→a]{f(b)-f(a)}/(b-a)

(1)式はf(x)=e^(-x)と置いたときの微分係数の定義式にマイナスをつけたものに等しいから、
(1)式=-f'(a)　となる。
ここでf'(x)=-e^(-x)であるから、(1)式=-f'(a)=e^(-a)

回答終わり。

質問者様の「bの関数としてみている」というのは具体的にどういうことですか？
ちょっとそこのところが私には理解できなかったので、上記回答のみにさせていただきました。
なにかありましたら補足してください。

P.S.微分係数の定義式については参考URLを見てください。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/dif_coef1.htm

回答No.3

alice_44

＞ bの関数として見てる気がして
＞ なんか納得いきません。

bの関数として見ればよいのです。
頭を柔軟に。

回答No.2

MagicianKuma

bをaに近づけるのだから、b=a+hとおいて、lim[h→∞] (f(a+h)-f(a))/h = f'(a)　と書けば納得いくのでは？
で、f(t) = -e^(-t)　と置けば、x=(e^(-a)-e^(-b))/(b-a) = (f(b)-f(a))/(b-a) = (f(a+h)-f(a))/h
lim[h→0] x = f'(a) = e^(-a)

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

微分の定義
f'(a)=lim(h→0) { f(a+h)-f(a) }/ ((a+h)-a)
b=a+hとおくと
f'(a)=lim(b→a) { f(b)-f(a) }/ (b-a)