LRC回路の過渡現象について。

質問

LRC回路の過渡現象について。

図の回路のvの式をできればラプラス変換を使って求めたいです。

ちなみに自分でも解いてみたのですが(画像参照)、
あっているかもわからず…とゆうか間違ってると思いますが、
逆ラプラス変換できなくて途中で終わってしまいました！
過渡現象をラプラス変換で解く例は、本などにたくさんのっているのですが、
どれも電圧源で、電流源の例を見た事がありません。。

ヒントなどご指摘でも構わないので教えてくれるとありがたいです。
本当に困っているのでよろしくお願いします！！！！！！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問について
>v(t)を波形で表したいのですが、
>コイルのt<0の電流がゼロであった場合の
>デルタ関数δ(t)はどのような値になるのでしょうか…？

δ関数を知らないようでは話になりませんよ。
一般的にはDiracのδ関数と呼ばれるδ(t)で表されます。参考URLで勉強して下さい。

理想的な電流源 J u(t) (ただしJ≠0,t<0でu(t)<0,t≧0でu(t)=1)がt=0の前後の瞬間にインダクタンスLに流入するため、Lの両端に振幅∞の電圧が一瞬の間だけ発生します（理論上）。現実にはそのようにt=0の瞬時に0→J[A]に変化する電流源は存在しませんから非常に狭い有限時間幅の非常に大きな電圧が発生します。この電圧が電源や他の回路部品を破壊する原因となりますので何らかの保護回路が必要になります（ステップモータなどの駆動回路では保護回路が必須です）。

[回路的常識]　通常の回路では、電流源に直列にインピーダンスを繋いだり（インダクタンスに巨大な電圧が発生＝一瞬電流源に巨大な電圧がかかる）、電圧源に並列にインピーダンスを接続する（並列容量に巨大な電流が流れる＝一瞬電圧源を短絡する）ことは、電源に無理がかかるだけで、回路的に何の意味もありませんのでそのようは無駄なことはやりませんね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ディラックのデルタ関数

お礼

お礼が大変遅くなり、申し訳ありません。
わからないところを勉強し、理解して解くことができました！
親切に教えてくださって本当にありがとうございました！！

回答No.1

info22_

確認
LとCの初期値はゼロとしているようですがそれでいいですか？

過渡現象をLaplace変換で解く方法は
（解法１）t領域で回路の微分方程式を未知数の数だけ立てて、それらの微分方程式をLaplace変換してs領域の未知電圧や電流をもとめ逆Laplce変換して過渡現象を解く方法
この方法では初期値は微分方程式のLaplace変換時に入ります。

（解法２）ｓ領域等価回路を描いて、s領域における回路方程式立ててs領域の未知電圧や電流をもとめ逆Laplce変換して過渡現象を解く方法
この方法では初期値はｓ領域等価回路に等価電源として入ります。

質問者さんの方法は（解法１）の方法になるかと思います。

質問者さんの解答の間違いの大きな原因はVを大きさ一定の電圧源(V/s)として立式しているところにあります。
以下により回路方程式を立てることになります。
任意の閉ループでキルヒホッフの電圧側を適用する。…(A)
任意のノードでキルヒホッフの電流側を適用する。…(B)

質問の回路を考えると電流源回路ですからJ=一定ですから
Laplace変換により　J⇒J/s、v(t)⇒V(s)になりますが
「V⇒V/sにはなりません」。これが間違いです。

×：v=Ldi/dt+Rir
この式はi=J(t≧1で一定)で電流源を接続した端子間の電圧を表す単なる式で回路方程式としては意味を持ちません(つまり(A),(B)のいずれの回路方程式でもない)。
電流源に直列なインピーダンスは流れる電流とは関係ないので回路的な意味がない（無視できる）ということです。

なので、回路的にはCとRの並列回路と同じです（Lはあっても意味がない）。
2番目の回路方程式のみ有効で
Rir=(1/C)∫icdt…(1)
もうひとつの回路方程式は
ir+ic=J…(2)
となります。
Cの初期電圧をvc(0)としてラプラス変換すれば
RI2=I1/(Cs)+vc(0)/s
I2+I1=J/s
これを解けば
I1=J/(s+1/(CR))-(vc(0)/R)/(s+1/(CR))
I2=J/(s(s+1/(CR)))+(vc(0)/R)/(s+1/(CR))
となります。
逆変換すれば
ic(t)=Je^(-t/(CR))-(vc(0)/R)e^(-t/(CR))
ir(t)=J(1-e^(-t/(C*R)))+(vc(0)/R)e^(-t/(C*R))

なお、電流源を接続した端子間電圧v(t)は
コイルのt<0の電流がゼロであった場合
v(t)=LdJu(t)/dt+Rir(t)
となりますが、単位ステップ関数u(t)を微分するとデルタ関数となるので
v(t)=LJδ(t)+JR(1-e^(-t/(C*R)))+vc(0)e^(-t/(C*R))
となります。

コイルのt<0の電流がJであった場合
同じ定電流Jが流れますので微分項はゼロになるから
v(t)=JR(1-e^(-t/(C*R)))+vc(0)e^(-t/(C*R))
となります。

お礼

わかりやすく、また詳しい回答ありがとうございます！
LとCの初期条件はゼロで大丈夫です！
最終的にJ=1A,R=85Ω,L=2.7μH,C=17pFとして、
v(t)を波形で表したいのですが、
コイルのt<0の電流がゼロであった場合の
デルタ関数δ(t)はどのような値になるのでしょうか…？
質問ばかりですみません。。
もしよければご教授いただけると嬉しいです！
よろしくお願いしますm(_ _*)m