RLC回路の過渡応答について

質問

添付画像の（a）のようなRLC回路の過渡応答の問題が解けずに困っています。
キャパシタンスに蓄えられる電荷についての微分方程式を立て、これを解いてインダクタンスに流れる電流を求める問題です。

まず定常状態でのLに流れる電流とキャパシタンスの両端の電圧はそれぞれ
Il=E/4R
Vc=E/4
と求まりました。(計算、考え方が間違っていなければですが・・・)

そして図の(b)のようにt=0でスイッチを入れた後（電源短絡後）の等価回路を考えたのですが、ここから方程式がどのようになるのかが分かりません。
Cからi(t)が分流する際、ちょうどi（ｔ)/2だけRL直列部とRの部分に流れるとして
(1/c)∫idt=Ri1+L(di1/dt)+Ri2　→　Ri+(L/2)di/dt
としてここから電荷の式に直すという解き方でいいのでしょうか？

考え方(等価回路や定常状態の電流・電圧等)に間違えがありましたらご指摘よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra

> Cからi(t)が分流する際、ちょうどi（ｔ)/2だけRL直列部とRの部分に流れるとして

さすがにこれはない。
Cに対して上から下向きの電流をic(t),左のRに対して上から下向きの電流をir(t)とおく。
i(t),ic(t),ir(t)と三つの未知の関数があるため三つの方程式を立てる必要があります。
電流についてのキルヒホッフの法則から式を一つ、電圧についてのキルヒホッフの法則から式を二つ導きましょう。(Cに蓄えられた電荷をq(t)としてもう一つ式を追加したほうが分かりやすいかもしれない)
電圧については閉じた回路を選びその回路について式を立てるとよいのですが、左にある抵抗を含む回路を選ぶと幾分式が簡単になると思います。

補足

解答ありがとうございます。
やはりダメですよね、お恥ずかしい限りです。
rnakamraさんからいただいたヒントを基に解いてみたのですが、再び間違っているところがあればご指導いただけると嬉しいです。

電流則：i=ic+ir・・・(1)
電圧測：Ri+L(di/dt)+(1/c)∫Icdt=0・・・(2)
　　　　　(1/c)∫Icdt=Rir・・・(3)
電流の定義より：Ic=(dq/dt)・・・(4)

まず(2)と(4)から
i=(-q/c)/(R+L(d/dt))
(3)と(4)から
ir=q/(RC)

(1)から(過程は省略します)
dq/dt=(-q/c)/(R+L(d/dt))-q/(RC)
↓
(1+(L/CR^2))(dq/dt)+（2/RC）q=0

となりました。
一応それっぽい形になったのですが解答がない問題なのでいまいち自信がありません。
もしお時間があれば見直ししていただけたらと思います。