調和振動子の素朴な疑問

質問

あたりまえ過ぎてか、本で調べても載ってないのですが、
1次元調和振動子シュレディンガー方程式の
波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?
これは推測と実験による仮定なのですか?
あとこの振動子の生成消滅演算子の関数は
どうやって求めたものなのでしょうか?
どなたか答えて頂ければありがたいです。
どうかよろしくおねがいします。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

> 波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?
> これは推測と実験による仮定なのですか?

ibm_111 さんの言われることと同じですが，
「シュレーディンガー程式を解くとそうなる」からです。

調和振動子のハミルトニアンは，適当に変数変換して
(1)　　H = (1/2)p^2 + (1/2)x^2
の形に書けます．
すなわち，実空間座標 x とそれに共役な運動量座標 p とが
対等な形で入っています．
x 空間と p 空間とはフーリエ変換の関係にあります．
したがって， x を元に考えても
(量子力学の言葉で言えば，x を対角化する表示をとる)
p を元に考えても(p を対角化する表示をとる)
同形にならないといけません．
ガウス関数 exp(-x^2/2) はフーリエ変換しても形が変わらない関数です．
というわけで，ガウス関数が調和振動子の波動関数(基底状態)になっているのは
納得できます．

さて，励起状態の波動関数は x 表示で
(2)　　(ガウス関数)×(エルミート多項式)
という形になっています．
これはフーリエ変換すると同形になりません．
なぜか？
理由は境界条件の設定にあります．
普通は，x→±∞ で波動関数が消えるように設定するのですが
(この条件からエネルギー量子化が出てきます)，
この境界条件は p→±∞ で波動関数が消えるという設定とは違います．
これが原因となって，励起状態の波動関数は x 表示と p 表示とでは
少し違うのです．

生成消滅演算子は，ああいうふうに定義(テキストに書いているように)すると，
ハミルトニアンが独立したボソンの集合というように書き直せるのです．
これは調和振動子だからそうなるのであって，
他のハミルトニアンですとボソン間の相互作用がいっぱい出てきて
簡単な形になりません．
なお，直交多項式(エルミート多項式もその一種)の立場からするなら，
生成消滅演算子は直交多項式に対する昇降演算子になっています．
昇降演算子とは，エルミート多項式で言えば，
H_n(ξ)の n を上げ下げする演算子です．

お礼

どうもありがとうございます!!
とてもよくわかりました!!

回答No.5

grothendieck

生成消滅演算子の関数というのは、
　 a = √(mω/2h) (x + i(2/mω)p)
　 a* = √(mω/2h) (x - i(2/mω)p)　(ただしhはエイチ・スラッシュを表わす)
という座標・運動量から生成消滅演算子への変換のことでしょうか。
　(1) どうやってこれを思い付くことができるのか
　(2) 調和振動子以外に演算子の代数で解くことができる系はあるのか
というのは多くの人が感じる疑問であると思います。しかし、これに応えてくれる本は多くありません。
　閉じた系は非相対論的にはガリレイ変換に対する不変性を持ちますが、相互作用の形によっては付加的な対称性を持つこともあります(Dynamical Symmetry)。運動方程式を不変にするリー代数がある場合、交換関係を使って解くとこができます。例えば水素原子はO(3,1)という対称性を持ち、Runge-Lenzベクトルという保存量があります。この保存量があるためにエネルギー順位は縮退し、ハミルトニアンの固有値はRunge-Lenzベクトルの交換関係から求めることができます。一般論の詳しい説明は次の文献を見て下さい。
　K. Mariwalla ; Dynamical Symmetries in mechanics, Physics Reports 20, (1975), 287
　MA. Olshanetsky and AM Perelomov ; Quantum integrable systems related to Lie algebras, Physics Reports 94, (1983), 313

お礼

難しいですね!!時間が余った時にでも調べてみます!!
どうもありがとうございました!!

回答No.3

noname#108554

線形常微分方程式なので、一般論としては級数展開で解けます。

で、解いてみるとたまたま（？）多項式×ガウシアンの形をしていて、
最も簡単な場合には多項式部分が1になっているわけですが、
本当に「たまたま（？）」なのかどうかが質問の要点ですか？

ソリトンの支配方程式のようにたまたま解けるというわけではない、
つまりその裏に理論があるかもしれませんが
私にはわかりません。

お礼

なるほど!!解けました!!どうもありがとうございます!!

回答No.2

noname#108554

>波動関数はなぜガウス関数みたいな形なのですか?

質問の背景がわからないのですが、もっとも直接的な答えは
「微分方程式を解くとそうなるから」です。

しかし、たぶんもとめている答えは違うんですよね？
物理的な意味を求めているのでしょうか？

補足

回答を頂きありがとうございます。
ポテンシャルがX**2の拡散方程式って解けましたっけ?
もし解けるようなら解き方のエッセンスだけでも
教えて頂けませんでしょうか?

回答No.1

KENZOU

とりあえずご質問の後半半分だけ。

>あとこの振動子の生成消滅演算子の関数は
>どうやって求めたものなのでしょうか?

生成消滅演算子はどのテキストを見ても天下り的にしかあたえられていませんね。小生もどうしてこんな演算子が考えつくのか嘗て考えたことがあります。結構ややこしいし、ここで書くにはあまりにも煩雑で、すぐいやになりますので、一度下記ＨＰのCoffee　Breakの項を覗いてみられてはいかがでしょうか。
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/

お礼

とても参考になりました!
どうもありがとうございます!