量子論について

質問

調和振動子のシュレディンガー方程式の基底状態と第一励起状態のエネルギー準位と波動関数を求めなさい。
この問題の趣旨と答えがわかりません。
教えてください。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

まず、シュレディンガー方程式を整理すると、
　d^2u/dt^2 + 2m/h^2(E - 1/2・mω^2)u = 0　　　　（１）
という２階の微分方程式になります。
ここで、uは波動関数、h=プランク定数/2π

このままですと、計算が大変なので、
　ξ = αx、　α = √(mω/h)、　λ = 2E/hω （２）
として、（１）を書き換えると、
　d^2u/dt^2 + (λ-ξ^2)u = 0　　　　 （３）
（３）の微分方程式を解けばいい（ニコニコ）。

（３）を解くのは、実は、結構、大変。
そこで、
　u = e^(-1/2・ξ^2)・H(ξ)
と仮定して、（３）の微分方程式を書き換えると、
　d^2H/dx^2 - 2ξdH/ξ + (λ-1)H = 0　　　　　（４）
となるので、これの級数解を求める・・・。

ガンバレ～！！

質問者さんの数学力がどの程度なのか知らないのですが、
たぶん、解けないと思うので・・・、
たとえば、
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap09.pdf
などをご覧になってください。
ここでは、ξがsになっているけれどもね。

ここに求めるものは全て出ています。

ちなみに、
基底状態はλ=1、第一次励起状態はλ=3です。
微分方程式は解けなくても、
エネルギー準位だけは
　λ = 2E/hω
の式から出てきます。

Hの正体は、エルミート多項式と呼ばれるものです。

この微分方程式の解き方は、他にもあることはあるのだけどね。
これが一番オーソドックスな解き方です。

お礼

ありがとうござます。
私の数学力だと確かにきついですね（大学一年汗）
これを参考に試験対策頑張ります。