この因数分解の解き方を途中計算も添えて教えてください。

質問

この因数分解の解き方を途中計算も添えて教えてください。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc

回答No.5

rinchan6 · ベストアンサー

(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc＝(ab＋ac＋bb＋bc)(c＋a)＋abc
　 ＝abc＋aaｂ＋acc＋aac＋bbc＋abb＋bcc＋abc＋abc
　　　　　　　　　　　　　　＝aa(b＋c)＋a(bb＋2bc＋cc)＋bc(b＋c)＋abc
　　　　　　　　　　　　　　＝aa(b＋c)＋a{(b＋c)(b＋c)＋bc}＋bc(b＋c)

　　　　　　　　　　　　　　ここでaの二次式と見て考えます。たすきがけってわかりますか？
　　　　　　　　　　　　　　パソコンでは上手くたすきがけを表せないので参考書を見てください。

　　　　　　　　　　　　　　すみません。

ゆえに　(a＋c)(b＋c)(c＋a)＋abc＝(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

お礼

解き方を教えてもらうと意外と簡単でした。
ありがとうございました。

回答No.4

debut

a+b+c=k とおくと、b+c=k-a,c+a=k-b,c=k-(a+b)
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(a+b)(k-a)(k-b)+ab{k-(a+b)}
=(a+b){k^2-(a+b)k+ab}+abk-ab(a+b)
※(a+b){k^2-(a+b)k+ab}と-ab(a+b)を共通因数a+bでくくり
=(a+b){k^2-(a+b)k+ab-ab}+abk
=(a+b){k^2-(a+b)k}+abk
=k(a+b){k-(a+b)}+abk
※共通因数ｋでくくり、
=k[(a+b){k-(a+b)}+ab]
※ｋをもどし、k-(a+b)をcにもどし
=(a+b+c){(a+b)c+ab}
※後ろの{・・}内を展開し、並べかえ
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

もっと的確なやり方があるような気がします。

回答No.3

178-tall

訂正！

判別式 D は、
　D = {(b+c)^2 - bc}^2

回答No.2

178-tall

ミス・タイプの訂正。

判別式 D は、
　D = {(b+c)^2 - bc}^2

回答No.1

178-tall

>(a+b)(b+c)(c+a)+abc

a の二次多項式として解くのが、予備知識最少で済むかも…。

　(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (b+c)*a^2 + {(b+c)^2 + bc}*a + bc(b+c)
になるので、判別式 D は、
　D = (b+c)^2 - bc
a の二次多項式として、零点(根) A1, A2 は、
　A1 = -bc/(b+c)
　A1 = -(b+c)
であり、
　(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (b+c)(a - A1)(a - A2)

…といった調子で。