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ゼロの概念発見以前について
ゼロの概念が発見（発明？）される以前は、数学というものは どの程度のものだったのでしょうか？ いま新たにゼロの概念なしで数学の体系をつくろうとしたとき、 それは可能なのでしょうか？
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３度目の登場ですが、面白い観点での補足がつきましたのでお許しを 願います。 さて、 >数学の原初のようなものが世界各地で発生し発展したとしたら、 >相互の交流をさせないとしたら、最終的に全く違った >公理と法則の体系がそれぞれにできはしなかっただろうか、 >という想像があるのです。 という点についてですが、話を地球に限ってしまうとそのような２つ 以上の体系はできないと思います。なぜなら、現代の発展した数学は 抽象度が高く、現実世界から遊離しているようにも見えますが、その 発達過程や根底にはこの地球上の現実があったからです。一般に人間 が生存できる環境は大差が無いと考えられますから、数学が基盤とす る現実も大差ないでしょう。であるからこそ逆に各地の数学が融合し ていくことができたとも考えられます。 とは言え、可能性だけを考えるならば、この宇宙のどこかの地球とは 違う環境のもとで、違う現実を反映した数学もあり得るとは思います。 それがどれだけ地球の数学と異なっているか、あるいは同じであるか は、その異文化との出会いが実際に生じない限り想像を許しません。 可能性だけを論じればそれは「可能」でしょうが、具体的な体系を示 すことは今の所不可能であると思います。 私の勝手な想像だけで言えば、その数学あるいはその根底にある論理 は、ＡとnotＡが同時に成立するようなものではないかと思います。 （根拠はありませんが、現代数学で取り扱える範囲は非常に大きいで すから、これくらいのむちゃくちゃな仮定を置かないとダメなような 気がします。） ただ、いずれにしろ、０の概念のあるなし程度ではgattoさんの思わ れるような「総合することの不可能な体系」にはならないと考えられ ます。結論的に言えば、現代の数学はトータルとして「唯一の体系」 でしょう。
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- ametsuchi
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全くのシロートです。 中国や日本は近代に至るまで、漢数字を見れば分かるとおり、位取り記数法を知らない（または採用しない）でやってきました。日本に限定しても商人や役人による実用的な数学によって日常生活には何ら支障がなかったのみならず、和算と呼ばれる秘伝的なものまで独自の発達を遂げ、微積分や精度の高い円周率の計算まで行なっていました。位取り記数法もなしに何故そこまで出来たかというと、算盤の存在が大きいのではないでしょうか？算木や、沖縄の結縄（インカにもある）など、数を記録する他の道具も使われましたが、何と言っても算盤の存在が大きいです。これはまさしく、位取り記数法になっており、「０」も存在しています。算盤で読み上げる時、「トビトビ」なんてのもあります。漢字の「零」は必ずしも「０」を表わしたものではないようですが、現代中国（本土・台湾）では「０」の替わりに「零」を使ってもいるようです。 算盤という、巧妙な道具のために、「０」なしでもかなり色々なことが出来たものの、これがなかったらどこまでできたか、よく分かりません。 位取り記数法や様々な数学記号を編み出し、西洋数学は劇的な発展を遂げました。科学技術に果たした数学の役割はトンでもなく大きいですよね。 さて、本題から外れますが、「aminouchi」さんの言われる、「ＡとnotＡが同時に成立する」というのは、「排中律」が成立しない数学のことだと思うんですが、現代数学でも、「ファジー理論」なんてのは「排中律」が成立しない世界だと思っています。違っていたらごめんなさい。
お礼
ご回答ありがとうございます。 私も数学は高校までなので、全くのシロートです。 おっしゃっていることは 概念としてはゼロがある世界のことかと思います。 表記等においてゼロがない、位取りできない、ということは 効率は悪くなるかもしれないし、今ほど発達しないかもしれないが、 本質にはあまり関係ないということでしょうか。 aminouchiさんもいわれているとおり、 ゼロぐらいでは本質的には違ってこない、ということなんでしょうね。 それに、役に立たないものはそもそも発展しようがないから、 現実的な仮定に基づく数学等の体系が発達するんでしょうね。
- pancho
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数学の勉強から離れて１０数年経つのでので、今や門外漢になりつつあります。以下の観点で説明できる方は、話を広げてみていただけないでしょうか？ ここまでの回答で、数学を「数字だけの学問」と見てらっしゃる様ですが、違っていませんか？ 例えば、ユークリッド幾何学って、数字としての「ゼロ」を必要とした体系ではなかったと認識しています。（もちろん、「何もない」という概念としての「ゼロ」は片隅にあったとおもいますが。） 従って、数字としての「ゼロ」がなくても数学としての体系は、分野を限れば可能だったと思うのですが、いかがでしょうか。 以上。（回答ではなくて済みませんでした。）
お礼
ありがとうございます。 回答でなくてもまったくかまいません。 予想していたことですが、僕の想定していた以上に 話が広がっていきそうですが、大歓迎です。 好きに広げていただいてかまいません。 さて別の欄でaminouchiさんに言及いただいていますが、 質問の後半部でおききしたかったことというのは、 今の数学が仮定（別にゼロでも虚数でも なんでもよいのですが）しているものがない（あるいは違うものをいれる） ことによって「質的に異なる論理の体系」が できなかったかな、という想像でこの質問をしたのです。 そしてこの疑問はやはり解決してないかも？？ うー、もすこし考えます。 あたまわるくてすんません。
- happy_people
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学校の数学では虚数を教える以前に二次方程式を教えます。判別式が負になる二次方程式は解がないものとして扱います。その類推としてですが。。。 ゼロの概念がないと「ｘ－２＝２」という方程式の解はないことになるのでしょう。また、ゼロの概念がないと負数の概念もないでしょうから、「ｘ－３＝２」も解がないのでしょう。
- aminouchi
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えーと、本題とは関係無いですがDurandalさんにお尋ねさせていただきたい のです・・ 普通数学史では「0の発見」はインドで行われ、紀元前2世紀頃には0を使った 記数法があったように記述されています。 私のこの知識は古いですから、「エジプト」とおっしゃるからには、何か新し い史料が発見されたことと思います。申し訳ありませんが、その史料をお教え 願えませんでしょうか。
本題から少しそれてしまいますが、計量空間がなくても多様対の議論はある程度できますし、本質的なことは計量なしで考えたほうが得る事が数学的には多いのでは？でも、物理的には計量はなくてはならない概念ですが。
- Durandal
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ゼロはエジプト発祥では？
- aminouchi
- ベストアンサー率46% (376/804)
gattoさんは、ゼロの概念が発見されたのがインドであることは ご存知ですね。つまり、この概念が伝わる前に世界各地の数学が 到達していたものが、お求めの答えになると思います。 一番判りやすい例がユークリッド幾何学ではないでしょうか。 古代ギリシアにおいて発達を遂げた幾何学は、その理由として 「数」が不完全なものであるという認識から出発しています。 また、あとのご質問に関しては、自然数だけでもかなりの数学 を展開することは不可能では無いと思いますが、今、私たちの 知っているような数学に比べれば非常に貧弱なものとなってし まうことは確実です。戯れにそのようなものを作ってみること はできるでしょうが、おそらく、私たちの知識=学問全体に対 して新たな貢献をするような発見は得られないのではないかと 思います。
補足
明快なご回答ありがとうございます。 私の質問で問いたかったのは、 数学は唯一の体系であるのかどうかということです。 つまり、総合することが不可能な体系が２つ以上並び立つ ということがあるかどうか、ということです。 数学の原初のようなものが世界各地で発生し発展したとしたら、 相互の交流をさせないとしたら、最終的に全く違った 公理と法則の体系がそれぞれにできはしなかっただろうか、 という想像があるのです。 この点はどう思われるか、お聞きしてみたいです。
- Durandal
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先ず進数が表記できなくなります。桁上がりが出来ません。 絶対基準を設けられないので負数の表記も困難です。 座標系も存在できず、無いものを表現できなくなります。
お礼
私の度重なる質問におつきあいいただき、 本当にありがとうございました。 とりあえず納得することができました。 数学は現実のアナロジーということなのかな。 これに近いことでまた質問するかもしれませんが そのときはよろしくお願いします。