ζ(２) の値

質問

いわゆるゼータ関数のζ(2)の値

Σ１/(n^2)= π^2/6

は、どのようにして導くのでしょうか。
たしか sin の無限乗積展開をつかったような記憶が
あるのですが.....。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142
の回答で shushou さんが書かれているように
(1)　　sin x / x = Π(n=1～∞) {1-x^2/(n^2 π＾2)}
ですね．
右辺の無限乗積をばらして，x^2 の項を集めると
(2)　　Π(n=1～∞) {1-x^2/(n^2 π＾2)}
　　　　= 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項)
になります．右辺第２項の{　}内がちょうどζ(2)です．
左辺をｘで展開すれば
(3)　　sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項)
ですから，(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて
(4)　　ζ(2) = π^2/6
が得られます．

他には，Fourier 級数を利用する方法もあります．
(5)　　f(x) = x^2
を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば
(6)　　x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1～∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx)
になります．
(6)で x=1 とおくと，右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって，
簡単に(4)が得られます．
同様に，x^4 の Fourier 級数展開から
(7)　　ζ(4) = π^4/90
がわかります．
なお，(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます．

お礼

なるほど分かりました。
フーリエ展開でもできるんですね。知らなかったです。
ありがとうございました。