数IIの問題

質問

ｘ二乗＋（２ｍ＋５）x ＋（ｍ＋３）＝０

この式で整数の解を持つための整数ｍの値を求めよ。
って感じです。
答えはｍ＝－３、－１
なんですけどわけわかんないです。
たぶん解はどちらかが整数であればよいと思われます。

だれか助けてください。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

ヒントです。

判別式D

解が整数になるための条件は
D=N^2
を満たす整数Nが存在すること。

4m^2+16m+13=N^2
[{2(m+2)}^2]-N^2=3
[2(m+2)+N][2(m+2)-N]=3
これから，m=-1,　-3　がでます

回答No.7

alice_44

整数係数であることは、決定的に重要ですね。
「モニックな多項式については」、
整数係数であれば、各根が有理数であることと
各根が整数であることは、同値な条件です。
そのことを間違いなく記述することができれば、
整数解を持つ⇒全ての解が整数 としてもよい。
高校範囲は超える気もしますが。

回答No.6

japaneseda

回答ではありませんがアドバイス。

Ｘ二乗はｘ＾２と表したほうが分かりやすいですよ！！

回答No.5

mister_moonlight

3±√2 とか

この問題は、“整数ｍ”という条件が決定的に重要、私の解答にも書いたが。

3＋√2＋3-√2＝-（２ｍ＋５）、（3＋√2）*（3＋√2）＝ｍ＋３

回答No.4

alice_44

和と積が整数であっても、
α,β が整数だとは限りません。
3±√2 とか。

解のひとつが整数になる条件と、
解がふたつとも整数になる条件とは、
結果的には同じなのですが、
そのことは、証明するまでは使えませんから、
No.2 のように話をもってくのが安全でしょう。

回答No.3

mister_moonlight

幾つか解法は考えられるが、計算が面倒な解法だけは止めた方が良い。

ｘ＾2＋（２ｍ＋５）x ＋（ｍ＋３）＝０の2つの解をα、β　（α≧β）とする。
解と係数から、α＋β＝-（2m+5）、αβ＝m＋3　‥‥(1)
mは整数から、和も積も整数だから、αもβも整数。
(1)からmを消去すると、2αβ＋α＋β＝1　→　4αβ＋2α＋2β＝2
従って、（2α＋1）*（2β＋1）＝3　。2α＋1≧2β＋1　であるから　（2α＋1、2β＋1）＝（3、1）、（-1、-3）。
この時、ｍ＝-1、-3.

回答No.2

banakona

素直に解の公式を使うと、

ｘ＝｛－２ｍ－５±√（４ｍ^2＋１６ｍ＋１３）｝／２　・・・（＊）

で、これの√の中は　｛２(ｍ＋２)^2｝－３

２(ｍ＋２)は整数なので、これは整数の２乗（平方数）から３を引いたもの。
√の中も平方数になる必要がある。

平方数から３を引いたものが平方数になるのは、１の場合のみ。
よって　｛２(ｍ＋２)^2｝－３＝１

これからｍの値を求めると　ｍ＝－３、－１　・・・★
これを（＊）に代入すると　ｘも整数になるので、★はいずれも適。