高1の数学の問題を教えてください

質問

xの2次方程式x^2-x-m=0…(1)(mは定数)は2つの異なる実数解α、β(α<β)をもっている。

(1)mのとり得る値の範囲を求めよ。またα=-2のとき、βの値を求めよ。
(2)α+βの値を求めよ。またαβ=-3のとき、βを求めよ。
(3)|α|+|β|=3のとき、mの値を求めよ。
(4)α<x<βを満たす整数xが6個であるとき、mのとり得る値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

gohtraw

方程式ｘ＾２－ｘ－ｍ＝０が二つの異なる実数解を持つということは
（１）判別式＞０より１＋４ｍ＞０
あるいは、この方程式を平方完成した形（ｘ－１／２）＾２－ｍ－１／４において
（２）－ｍ－１／４＜０　（放物線の頂点のｙ座標＜０）
ということです。（１）も（２）も同じ結果を与えます。

この方程式は（ｘ－α）（ｘ－β）＝０　と表すことができ、これを展開すると
ｘ＾２－（α+β）ｘ＋αβ＝０
となります。これは元の方程式ｘ＾２－ｘ－ｍ＝０　に他ならないので係数を比較すると
α＋β＝１　、αβ＝－ｍ
となります。α＝－２であればβ＝１－α　よりβの値が判ります。

上記よりα＋βの値は明らかですね。また、α＝１－βなのでこれをαβ＝－３に代入すると
β（１－β）＝－３
というβの二次方程式になるのでこれを解けばβの値がでます。

α＝１－βなので
｜α｜＋｜β｜＝｜１－β｜＋｜β｜＝３　・・・（あ）
です。ここで元の方程式の解のうち大きい方（１＋√（１＋４ｍ））／２　をβとするとβは正なので（あ）は
｜１－β｜＋β＝３　・・・（い）
ここでもし１-β＞＝０だとすると（い）は
１－β＋β＝１　となり矛盾が生じます。従って１－β＜０でなくてはならず、（い）は
－１＋β＋β＝３　となるのでβ＝２です。
（１＋√（１＋４ｍ））／２＝２　とおくと
√（１＋４ｍ）＝３
１＋４ｍ＝９
ｍ＝２　となります。上記で二つの解のうち大きい方をβとしましたが、大きい方をαとしても
｜１－α｜＋α＝３
より大きい方の解＝２となるので同じ結果になります。

α＜ｘ＜βを満たす整数が６個あるということから、βーαのとるべき値の範囲が決まります。
βーα＝√（１＋４ｍ）なので・・・？

回答No.1

under12

中3の教科書からやり直しましょう。
こんな基本が分からないようでは、ネットしているヒマなんて無いはずですよ。