関数の形状について微分を用いるとき

質問

関数の形状についての質問です。
Xを変数としaを定数とする。
^　は乗を表すとすると
f(X)=X^(1-a)/(1-a) のグラフを描くという問題です。
縦軸はf(x)で横軸はxと指定されています。
一階の微分と二階の微分から調べるらしいのですが、全くの文系なもので
調べても良く分かりませんでした。

グラフの形についてのヒントでも歓迎です。

どなたか分かる方がいらっしゃいましたら是非御回答宜しくお願いします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

f(X)=X^(1-a)/(1-a)
f'(X)=X^(-a)
f''(X)=(-a)・X^(-a-1)
なので、
　(1)f'(X)>0　即ち右上がり
　(2)a<0か否かでf''(X)の正負が変わる。即ち、下に凸か上に凸か。
　(3)a>1だと、X→+0でf(X)→-∞、X→+∞でf(X)→-0
　　　a<1だと、X→+0でf(X)→+0、X→+∞でf(X)→+∞

以上を組み合わせて,
[1]　a<0　原点、(1,1/(1-a))を通り,下に凸の増加関数　例.f(X)=X^2/2
[2]　a=0　原点、(1,1/(1-a))を通る直線　f(X)=X
[3]　0<a<1　原点、(1,1/(1-a))を通り,上に凸の増加関数　例.f(X)=2・√X
[4]　a>1　(1,1/(1-a))を通り,上に凸の増加関数。　例．f(X)=-1/X
のようにグラフを分類すればよいのではないでしょうか。

お礼

非常に詳しく、そして例まで付けて頂き大変感謝致します。

これ以上ない簡潔にして分かりやすい回答だと思います。

回答の早さにも驚きました。
本当にありがとうございました。
またの機会がありましたら是非とも宜しくお願い致します。

回答No.1

ziziwa1130

第1次導関数がその関数の増減、第2次導関数がその関数が表す曲線の形状です。
ある定義域内でf'(x)の値が正ならば関数f(x)は単調に増加、負ならば単調に減少です。
同様にf"(x)の値が正ならば曲線が下に凸、負ならば上に凸です。
f'(a)=0で、aの前後でf'(x)の符号が変わる場合にはf(x)は極値をとります。
正→負の場合には極大値、負→正の場合には極小値です。
f"(a)=0で、aの前後でf"(x)の符号が変わる場合の点｛a,f(a)｝を変曲点といいます。

お礼

大変素早い御返答に感謝致します。

有り難く参考にさせて頂きます。