漸化式

質問

漸化式
b_1 = 1
b_m = [Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(2^m-2)　(m=2,3,・・・)
について、一般項b_mがどうやら1/(m!)のようなのですが、
その証明がわかりません。

指数関数e^(2x)のテーラー展開と(e^x)のテーラー展開の
畳み込み結果とを係数比較することにより、上式を得るという
ところはわかったのですが、もう少し直接的なアプローチが
ないかと思い、識者の皆様に相談申し上げる次第です。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

Tofu-Yo · ベストアンサー

数学的帰納法、二項展開を使って高校生チックに証明ができます。

m=1のときはOK。m-1まで成り立つとして、m(≧2)のとき示します。

b_m = [Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(2^m-2)
　　=[1/{1!(m-1)!}+…+1/{(m-1)!1!}]/(2^m-2)　　(*)

ここで、2^m=(1+1)^mを二項展開すると、
=mC0+mC1+…+mC(m-1)+mCm
=1+m!/{1!(m-1)!}+…+m!/{(m-1)!1!}+1
したがって、
m!/{1!(m-1)!}+…+m!/{(m-1)!1!}=2^m-2
1/{1!(m-1)!}+…+1/{(m-1)!1!}=(2^m-2)/m!

これを(*)に代入して、

b_m={(2^m-2)/m!}/(2^m-2)=1/m!

お礼

2項展開の活用、目からうろこでした。

教授頂いた方法で、(1+1)^(2n)および(1+(-1))^(2n)の2項展開を使い、
c_1 = 1
c_m = [Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(4^m-4)
も、c_m=2/(2m)!と得られました(coshのテーラー展開の係数）。

さらに、d_1=1、d_m=[Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(8^m-8)
も、と勢い込んだのですが、これはどうやらそもそも解けそうもない
ことがわかりました。

どうもありがとうございました。

補足

2項展開の活用、目からうろこでした。

教授頂いた方法で、(1+1)^(2n)および(1+(-1))^(2n)の2項展開を使い、
c_1 = 1
c_m = [Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(4^m-4)
も、c_m=2/(2m)!と得られました(coshのテーラー展開の係数）。

さらに、d_1=1、d_m=[Σ_{k=1}^{m-1} b_k・b_(m-k)]/(8^m-8)
も、と勢い込んだのですが、これはどうやらそもそも解けそうもない
ことがわかりました。

どうもありがとうございました。