最小値の問題

質問

a^2+b^2=1 のとき、
f=a-2b-(ab)/2 の最小値を求めよ。

考えたのは、a=cosθ、b=sinθ とおいて、
やってみたのですが、うまくいきません。

あと、f=k とおいて、a^2+b^2=1 に代入して、
これもよくわかりません。

どういう方法がよいのか、教えてください。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

そんなに難しい事か？

双曲線：（a＋4）*（b-2）＝8-2k が考えにくければ、置き換えたら良いだろう。

a＋4＝x、b-2＝y、8-2k＝m とすると、（x-4）＾2＋（y+2）＾2＝1 の時、xy＝m　の最小値を考えるだけだよ。
xy平面上に図示すれば終わりじゃないか？

お礼

むずかしく考えていました。
方程式の解の存在条件で計算を進めればよい
ということですね。
お手間をとらせて、すいませんでした。
ありがとうございました。

補足

わかったと思って、お礼に返事をしましたが、
早とちりでした。よくまだ、わかっていませんでした。
計算が込み入って、うまく処理できませんでした。

回答No.1

mister_moonlight

簡単だろう。

a-2b-(ab)/2 ＝kとすると、分母を払うと、（a＋4）*（b-2）＝8-2k 。これは双曲線。
従って、円： a^2+b^2＝1 と双曲線：（a＋4）*（b-2）＝8-2k を考えるだけ。
接する時が、最大と最小。　以下は自分で計算して。

補足

領域の問題で、＝ｋ　とおいて、ｋは切片だから、切片の最大、最小を
考えればよいのはりかいできるのですが、
この問題の場合、ｋは双曲線の何になるのか、よくわからないので、最小になるのは接するときと断定できないように考えててしまったのですが、このことについて補足してもらえればありがたいです。お願いします。