至急！慶応の確率

質問

１つのサイコロを振って出た目の数の得点がもらえるゲームがある。ただし、出た目が気に入らなければ、１回だけ振り直すことを許す。 このゲームで貰える得点の期待値が最大になるようにふるまったとき、その期待値は(Ａ)である。同じルールで最高２回まで振り直すことができるとすると、このゲームの得点の期待値は(Ｂ)である
(Ａ)と(Ｂ)を求めよ

もうさっぱりです。
問題に書いてある意味もわからない状態です。
誰か分かりやすく教えてください。お願いします＞＜

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

この問題は結構「やっかい」な感じがします。
なので、意味がわからないというのも納得です。＾＾
問題文はこれで全部ですか？他に条件などあるようならば、書いてください。

この問題で一番やっかいなのは、
「このゲームで貰える得点の期待値が最大になるようにふるまった」
の部分だと思います。

ここについて、もう少し条件などがあればわかりやすいのですが、
わたしは次のような意味だととりました。
「次に振る目がいままでの目よりも大きくなる確率が高いときは、次を振る」

これを例で考えてみると、次のようになります。
1回目に「2」が出たとすると、次に「3～6」が出る方が"選択肢が広い"ので、振ることを選択する。
もし 2回目が「5」であれば、選択肢は狭いので振らない。

これを計算できるように、言いまとめると
「出た目が 1～3のときは振り直す。出た目が 4～6であればそこで終わる。」

となり、次の目を振るかどうかは確率 1/2であることが言えます。

ここまでのところで、わからないところがあれば補足してください。
ひとまずはここまで。＾＾

補足

１つのサイコロを振って出た目の数の得点がもらえるゲームがある。ただし、出た目が気に入らなければ、１回だけ振り直すことを許す。 このゲームで貰える得点の期待値が最大になるようにふるまったとき、その期待値は(Ａ)である。同じルールで最高２回まで振り直すことができるとすると、このゲームの得点の期待値は(Ｂ)である
(Ａ)と(Ｂ)を求めよ

自分の解釈として、
こういう【有利・不利】系統の問題では期待値を用いて考えるのが定石なのでとりあえずこの問題の場合　はじめにサイコロを1回振ったときの期待値を求めることから始める。
これは(1+2+3+4+5+6)/6=7/2（=3,5）
期待値とはつまり平均値の事。
この場合言い換えれば、【サイコロを1回振ったときの目の出方の平均値】。
今、平均値（期待値）が3,5とのことなので　これを最大になるようにふるまうということはつまり
1,　2,　3<3、5<　4,　5,　6
3,5より大きい・・・目が4、5、6のときは振りなおす必要はない。（なぜなら平均値である3,5よりも大きいから！）

3,5より小さい・・・目が1,2,3のとき、これは振りなおすことができる。（なぜなら平均値である3,5よりも小さく、問題の条件の【最大になるようにふるまう】からも振り直したほうが妥当！）

で、目の出方が1,2,3のときの確率は　当然　3/6=1/2ですよね。
そして、3,5より小さい（目の出方が1,2,3）のとき、【振りなおしすることが可能】なので　最初に求めたサイコロを1回振ったときの期待値7/2をかけて 1/2×7/2＝7/4・・・(1)
3,5より大きい（目の出方が4,5,6）のときは振りなおす必要がないので
普通に期待値を求めてやると（4+5+6）/6＝15/6＝5/2・・・(2)
よって、(1)(2)を足して
7/4+5/2=7/4+10/4=17/4　という理解でいいのでしょうか？
また(1)の場合で、私は
3以下の目が出た時の期待値（1+2+3）/6＝1
サイコロを１回振りなおしたときの期待値は7/2なので
これら２つの期待値を足してやって1+7/2＝9/2と考えてしまったのですが、
３以下の目が出た時は【振りなおせる】ので３以下の目の期待値は振りなおした時点で消滅（？）のような形になるのでこれを求めても無意味になるからこのやり方は間違っているのか・・とずいぶん適当な解釈で進めていってしまったのですがどうなんでしょうか？；
あと、私はバリバリ文系の高１で数学はかなり苦手です。。
本当に誰か助けてください；お願いします＞＜

回答No.4

f272

なんだか、みんな混乱したことを言ってる気がする。

(1)まず、1回しか振れない場合
これは簡単。
1,2,3,4,5,6がそれぞれ1/6の確率で起こるから(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2

(2)2回振ることができる場合
1回目が(1)の期待値より小さいならば振り直し、その時の期待値はそれぞれ7/2になっている。
したがって(7/2+7/2+7/2+4+5+6)/6=(7+7+7+8+10+12)/12=51/12=17/4

(3)3回振ることができる場合
1回目が(2)の期待値より小さいならば振り直し、その時の期待値はそれぞれ17/4になっている。
したがって(17/4+17/4+17/4+17/4+5+6)/6=(17+17+17+17+20+24)/24=112/24=14/3

> よって、(1)(2)を足して
> 7/4+5/2=7/4+10/4=17/4　という理解でいいのでしょうか？

そういう理解でよいのです。

> 3以下の目が出た時の期待値（1+2+3）/6＝1
> サイコロを１回振りなおしたときの期待値は7/2なので
> これら２つの期待値を足してやって1+7/2＝9/2と考えてしまった

それぞれの期待値にそれぞれの確率を掛けて足せばよいのですが、
期待値1は3以下の目が出たけど振り直さないとき
期待値7/2は3以下の目が出て振り直したとき
ですから、それらを足すと、何をしてるの？ということになります。

> ３以下の目が出た時は【振りなおせる】ので３以下の目の期待値は振りなおした時点で消滅（？）のような形になる

このように考えてください。

回答No.2

xanthate

サイコロを一度振る場合、1/6の確立で、1から6がそれぞれ出ます
ので、単純に一度振る場合、その出た目＝得点の期待値は以下の
通りになります。

1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 +6/6 = 3.5

次に、出た目が気に入らなければ、一度振りなおすことが出来る
ので、一度振った際に、上に書いた期待値3.5に達していない場
合、つまり出た目が1,2,3の場合はもう一度振り直すことに
なります。

一度振った際に出た目が1,2,3になる確立は3/6で、それを振り
直した際の期待値は、上記の式と一緒になりますので、(A)は
以下の通りになります。

3/6 x (1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 +6/6) + 4/6 + 5/6 +6/6 = 4.25

さて2回まで振りなおすことが出来る場合、2度振っても1,2,3の
場合に2度振ることになりますので、上記の式を変形して(B)は
以下の様に計算できます。

3/6 x 3/6 x (1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 +6/6) + 3/6 x (4/6 + 5/6 +6/6) + 4/6 + 5/6 +6/6 = 4.625

回答No.1

yamato300

こんにちは

普通にサイコロを1回振ったときの得点期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=7/2ですね.　
　例えば「1回目に3以下の目が出たときは振りなおす」としたときの
得点期待値は(1/6)×4+(1/6)×5+(1/6)×6+3×(1/6)×{(1+2+3+4+5+6)/6}=17/4となります.
「出た目が気に入らないときに振りなおす」というのは「1回目にXの目以下が出たときに振りなおす」というのと同じことなので
(X=6で振りなおす人はいないだろうから)X=1,2,3,4,5について得点期待値を求めてそのうち最大のものが(A)になるということでしょう.

(A)が最大になるXが分かれば(B)も計算できますね.

補足

とある回答で
「(ア)について。
さいころを1回振ったときの期待値は3,5。したがって3以下の目が出たときは振り直し、4以上ならばそのままとする。
ここから先は解答はよって求める期待値は7/2×3/6+(4+5+6)×1/6=17/4といきなり答えを出してしまっています。
この答えまでの過程が気になります。
自分なりの考えとしては3以下の目が出る確率は1/2。その後振り直しをすると、1～6までの出る確率はそれぞれ等しく1/6であるから期待値E(expectation)＝(1+2+3+4+5+6)/6
これに3以下の目が出る確率、1/2をかけて7/4。
4以上の目が一回で出るときの期待値は(4+5+6)/6であるから、これと7/4とを足して17/4」知恵袋で他の方の見解なのですが　なぜこのような過程になるのでしょうか？　3以下の目が出る確率と1～6までの出る確率をかける意味がわかりません。
詳しく教えてください