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確率について
「ヨット」というポーカーみたいなゲームなんですけど、サイコロを１回に５個振ったとき「全てがバラバラ（ノーペア）」「同じ目２個が１組（ワンペア）」「同じ目２個が２組（ツーペア）」「同じ目が３個で残りは別々の目」 「同じ目が３個で残り２個も同じ目（フルハウス）」「同じ目が４個（フォー）」「同じ目が５個（オール）」「目が４つ並んでいる（ショート）」 「目が５つ並んでいる（ロング）」のそれぞれの確率はどうやって求められるのでしょうか？ 自分で頑張って考えてみたら２日間もかかったので... 後、このゲームにはルールがあって１回５個のサイコロを振った後、変えたい数のサイコロ（何個でも）はもう１回振ることができます。 その後に、もう１度変えたい数のサイコロを決めて振れます。すなわち、数を変えたければ計２回変えることができます。 そこで、オールという役（５個同じ数）を作りたいとき、オールが出来る確率は。１回目振った時⇒１分の１２９６ １回目変えた後⇒３１１分の２３３２８ で合っていますか？ 後、どういうふうに見つけるのがいいのでしょうか？ 最後に、２回目変えた後の確率はどうやっても見つけることが出来ませんでした。 見つけれるなら、方法も教えてください。
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間違えました。 ２回ふりなおしたときのオールの確率＝（１回振りなおしたときノーペアの確率＋１回振りなおしたときショートの確率＋１回振りなおしたときロングの確率）×１回でオールが出る確率＋（１回振りなおしたときワンペアの確率＋１回振りなおしたときツーペアの確率）×2)のオールの確率＋（１回振りなおしたとき３つの確率＋１回振りなおしたときフルハウスの確率）×3)のオールの確率＋（１回振りなおしたときフォーの確率）×4)のオールの確率＋１回ふりなおしたときのオールの確率 が正しいです。 もう一回「１回目からオールの確率」を足すと二重計上になっちゃいますね。。
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- freedom560
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そっか、中学範囲で２回目変えたときでしたか。 それは、ほぼ同様に ２回ふりなおしたときのオールの確率＝（１回振りなおしたときノーペアの確率＋１回振りなおしたときショートの確率＋１回振りなおしたときロングの確率）×１回でオールが出る確率＋（１回振りなおしたときワンペアの確率＋１回振りなおしたときツーペアの確率）×2)のオールの確率＋（１回振りなおしたとき３つの確率＋１回振りなおしたときフルハウスの確率）×3)のオールの確率＋（１回振りなおしたときフォーの確率）×4)のオールの確率＋１回目からオールの確率＋１回ふりなおしたときのオールの確率 です。ここで、 １回振りなおしたときノーペアの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がノーペアの確率 １回振りなおしたときショートの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がショートの確率 １回振りなおしたときロングの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がロングの確率 １回振りなおしたときワンペアの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がワンペアの確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)のワンペアの確率 １回振りなおしたときツーペアの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がワンペアの確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)のツーペアの確率 １回振りなおしたとき３つの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目が３つの確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)の３つの確率＋（１回目が３つの確率＋１回目がフルハウスの確率）×3)の３つの確率 １回振りなおしたときフルハウスの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がフルハウスの確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)のフルハウスの確率＋（１回目が３つの確率＋１回目がフルハウスの確率）×3)のフルハウスの確率 １回振りなおしたときフォーの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回目がフォーの確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)のフォーの確率＋（１回目が３つの確率＋１回目がフルハウスの確率）×3)のフォーの確率＋１回目がフォーの確率×4)のフォーの確率 です。３回目、４回目等も全く同じやり方でできます。ただ、場合わけが多すぎてすごくめんどくさいですね。（ツーペアのときの矢印のように何個も増えます） というわけで、No.4で書いた漸化式と言うものを使ってすっきり書くわけです。
- freedom560
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１回目以降については、方針だけ中学生範囲で書くと、まずは、ノーペアからオールまでの次の方針を考えてください。で、自分は 1) ノーペア、ショート、ロング→全部振りなおす 2) ワンペア、ツーペア→そろった２個を残す 3) ３つ、フルハウス→そろった３個を残す 4) フォー→そろった４個を残す と考えました。それで、この４パターンについて、次に振ったときの確率を考えるんです。 すると、 1) 全部振りなおすと言うことは当然１回目と同じ 2) ワンペア ６０／２１６ ツーペア ６０／２１６ ３つ ６０／２１６ フルハウス ２０／２１６ フォー １５／２１６ オール １／２１６ 3) ３つ ２０／３６ フルハウス ５／３６ フォー １０／３６ オール １／３６ 4) フォー ５／６ オール １／６ となります。 あとは、ツーペアのとき矢印でそっちの方向に何分の何でいくかと考えたのと同様に、 １回ふりなおしたときのオールの確率＝（１回目がノーペアの確率＋１回目がショートの確率＋１回目がロングの確率）×１回でオールが出る確率＋（１回目がワンペアの確率＋１回目がツーペアの確率）×2)のオールの確率＋（１回目が３つの確率＋１回目がフルハウスの確率）×3)のオールの確率＋（１回目がフォーの確率）×4)のオールの確率＋１回目からオールの確率 で求まります。結果は２２１／１７４９６になります。 ---------------------- 補足１ 高校生になったら数列／漸化式と言うものを習います。 その考え方を利用すると、ｎ回振ったときの確率を ノーペア：Ａn ショート：Ｂn ロング：Ｃn ワンペア：Ｄn ツーペア：Ｅn ３つ：Ｆn フルハウス：Ｇn フォー：Ｈn オール：Ｉn とおいて、 Ａn+1＝５／１６２（Ａn＋Ｂn＋Ｃn） Ｂn+1＝５／１６２（Ａn＋Ｂn＋Ｃn） Ｃn+1＝５／１６２（Ａn＋Ｂn＋Ｃn） Ｄn+1＝２５／５４（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋５／１８（Ｄn＋Ｅn） Ｅn+1＝２５／１０８（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋５／１８（Ｄn＋Ｅn） Ｆn+1＝２５／１６２（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋５／１８（Ｄn＋Ｅn）＋５／９（Ｆn＋Ｇn） Ｇn+1＝２５／６４８（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋５／５４（Ｄn＋Ｅn）＋５／３６（Ｆn＋Ｇn） Ｈn+1＝２５／１２９６（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋５／７２（Ｄn＋Ｅn）＋５／１８（Ｆn＋Ｇn）＋５／６Ｈn Ｉn+1＝１／１２９６（Ａn＋Ｂn＋Ｃn）＋１／２１６（Ｄn＋Ｅn）＋１／３６（Ｆn＋Ｇn）＋１／６Ｈn＋Ｉn という式が成り立ちます。（注：普通の高校生の問題ではこんなに何個も変数がある漸化式は出てきません。たぶん、下手な大学入試問題よりはるかに難しいです） で、No.3で書いたとおり、 Ａ1＝４０／１２９６ Ｂ1＝４０／１２９６ Ｃ1＝４０／１２９６ Ｄ1＝６００／１２９６ Ｅ1＝３００／１２９６ Ｆ1＝２００／１２９６ Ｇ1＝５０／１２９６ Ｈ1＝２５／１２９６ Ｉ1＝１／１２９６ を代入してこれを解くと Ａn＝Ｂn＝Ｃn＝(1/3)*(5/54)^n Ｄn＝(1/2)*(5/54)^n+(3/4)*(5/9)^n Ｅn＝-2*(5/54)^n+(3/4)*(5/9)^n Ｆn＝(61/78)*(5/54)^n-(13/4)*(5/9)^n+(106/39)*(25/36)^n Ｇn＝-(14/78)*(5/54)^n-(3/4)*(5/9)^n+(53/78)*(25/36)^n Ｈn＝-(1251/11232)*(5/54)^n+(29/8)*(5/9)^n-(265/39)*(25/36)^n+(315/96)*(5/6)^n Ｉn＝1+(55/67392)*(5/54)^(n-1)-(5/8)*(5/9)^(n-1)+(6625/2808)*(25/36)^(n-1)-(525/192)*(5/6)^(n-1) となります。（注：相当な計算量が必要です。自分は最近計算が苦手になったので途中まちがえまくりました。） 高校になって極限を習ったらわかりますが、n→∞に持っていったとき、Ｉ∞＝１となること、つまり、全部がオールになってしまうことがわかります。 （まぁ、エクセルで計算させたらｎ＝１９で９割を超え、ｎ＝８７では１に見かけ上なってますけどね） ちなみに、Ｉnのところで、本当は１から全体を引けばいいわけだけど、わざと階差数列を計算して、定数項の和が１になったときにはホントすっきりしました。（まぁ、高校になってこの辺の勉強をしたらこの意味を考えてください） ---------------------- 補足２ エクセルのＡ１～Ｉ１のセルに初項（Ａ1＝４０／１２９６等）を入れ、 Ａ２～Ｉ２のセルに A2: =5/162*(A1+B1+C1) B2: =5/162*(A1+B1+C1) C2: =5/162*(A1+B1+C1) D2: =25/54*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1) E2: =25/108*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1) F2: =25/162*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1)+5/9*(F1+G1) G2: =25/648*(A1+B1+C1)+5/54*(D1+E1)+5/36*(F1+G1) H2: =25/1296*(A1+B1+C1)+5/72*(D1+E1)+5/18*(F1+G1)+5/6*H1 I2: =1/1296*(A1+B1+C1)+1/216*(D1+E1)+1/36*(F1+G1)+1/6*H1+I1 と言う風に漸化式の式を書いたあと、それらをＡ３～Ｉ３の方向へのばしていくと、すぐに値だけもとまってグラフがかけます。まぁ、補足１で書いた一般項は当然求められないんですけどね。
- freedom560
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そうですか、中学生ですか。中学生にしてはなかなか難しい問題を考えてますね。中学生の確率の問題なんてサイコロ２個が限度だと思っていました。 ＞＾と！の意味が調べてもよく分からないので... 本当にすいません。 とりあえず説明しておきましょう。 ６＾５とは６を５回かけるという意味です。 つまり６＾５＝６×６×６×６×６＝７７７６と言う意味です。 で、ｎ！とはｎより１小さい数をどんどんかけていく（１になるまで）という意味です。 つまり、５！＝５×４×３×２×１＝１２０と言う意味です。 ＞目が４つ並んでいる（ショート）」と「目が５つ並んでいる（ロング）」の確率を求めることが出来なった これはノーペアの考え方が間違っているからです。 あなたが考えているのは最初に１～６のうちどれかを引いて次にそのうちの出たもの以外を引いて・・という考え方ですよね？ でも、よく考えてください。No.1の回答にも書きましたが、 「全てがバラバラ（ノーペア）」 これは（１，２，４，５，６）または（１，２，３，５，６）の２パターン 「目が４つ並んでいる（ショート）」 これは（１，３，４，５，６）または（１，２，３，４，６）の２パターン 「目が５つ並んでいる（ロング）」 これは（１，２，３，４，５）または（２，３，４，５，６）の２パターン に分かれるわけです。要するに、１，２，３と引いたら次に４，５，６のどれを引いてもノーペアになるわけじゃないんです。（ノーペアは５か６を強制しますね）つまり、あなたが考えたノーペアの考え方の中にショートとロングのパターンも含まれています。 というわけで、このヒントでもう一度考えてください。 正解は ノーペア ４０／１２９６ ワンペア ６００／１２９６ ツーペア ３００／１２９６ ３つ ２００／１２９６ フルハウス ５０／１２９６ フォー ２５／１２９６ オール １／１２９６ ショート ４０／１２９６ ロング ４０／１２９６ なんでほとんど正解ですね。 ＞例えば「同じ目が３個で残り２個も同じ目（フルハウス）」なら残りの２個だけ変える、「同じ目が５個（オール）」なら何も変えない場合です。 これなら２回目変えた後の確率を求めることが出来るのでしょうか？ ノーペア、ショート、ロングは全部振りなおすか１個残すかって言う問題もありますけどね（まぁ、計算したら同じ確率になるような気がしなくもないですが） そういう条件があれば求めようと思えば求められます。ただ、それを「中学の範囲で」と言われると自信はありません。
- kununo
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ノート見せてもらいましたがノーペアよりワンペアの確率が低いのはおかしいのでは。（数字が6種類しかないのでバラバラに出す方が難しい） ワンペアは6/6*1/6*5/6*4/6*3/6+6/6*5/6*2/6*4/6*3/6+6/6*5/6*4/6*3/6*3/6+6/6*5/6*4/6*3/6*4/6 ではないでしょうか。 たとえ同じ大きさのサイコロが5個でもそれぞれ違うサイコロなので各々のサイコロに番号をつけるなりして考えればショートやロングもわかりやすくなるのでは。 私は大人ですがあなたと同じく中学生程度の知識だと思うので違ってたらすいません。 2回目3回目は私には難しすぎますね。 がんばってください。
- freedom560
- ベストアンサー率46% (80/173)
１回目振った時です。 それぞれの組ができる数字のパターンを考え、その後それらを順列で並べて考えていきます。 まず、全体の数は６までの目を持つサイコロを５回振るわけだから６＾５＝７７７６です。 「全てがバラバラ（ノーペア）」 これは（１，２，４，５，６）または（１，２，３，５，６）の２パターンのみです。 それぞれ５！の並び方があるので ２×５！＝２４０通り 「同じ目２個が１組（ワンペア）」 同じ目が出てくるのは１～６のうちどれか１つかつ残りの５個から３つを選べばよいので ６×5Ｃ3＝６０パターン それぞれ５！／２！の並び方があるので ６０×５！／２！＝３６００通り 「同じ目２個が２組（ツーペア）」 同じ目が出てくるのは１～６のうちどれか２つかつ残りの４個から１つを選べばよいので 6Ｃ2×４＝６０パターン それぞれ５！／（２！×２！）の並び方があるので ６０×５！／（２！×２！）＝１８００通り 「同じ目が３個で残りは別々の目」 同じ目が出てくるのは１～６のうちどれか１つかつ残りの５個から２つを選べばよいので ６×5Ｃ2＝６０パターン それぞれ５！／３！の並び方があるので ６０×５！／３！＝１２００通り 「同じ目が３個で残り２個も同じ目（フルハウス）」 ３つの同じ目が出てくるのは１～６のうちどれか１つかつ残りの５個から２つの同じ目を１つを選べばよいので ６×５＝３０パターン それぞれ５！／（３！×２！）の並び方があるので ３０×５！／（３！×２！）＝３００通り 「同じ目が４個（フォー）」 ４つの同じ目が出てくるのは１～６のうちどれか１つかつ残りの５個から１つを選べばよいので ６×５＝３０パターン それぞれ５！／４！の並び方があるので ３０×５！／４！＝１５０通り 「同じ目が５個（オール）」 １～６のうちどれか１つ選べばよいので６パターン それぞれ１つの並び方しかないので ６×１＝６通り 「目が４つ並んでいる（ショート）」 これは（１，３，４，５，６）または（１，２，３，４，６）の２パターンのみです。 それぞれ５！の並び方があるので ２×５！＝２４０通り 「目が５つ並んでいる（ロング）」 これは（１，２，３，４，５）または（２，３，４，５，６）の２パターンのみです。 それぞれ５！の並び方があるので ２×５！＝２４０通り 全て足したら７７７６になることを確認してください。それぞれの確率はそれぞれを７７７６で割って約分してください。 トランプと違って１～６までしかないのでノーペアはショートやロングと全く同じ確率で出てきますね！ 「１度変えたい」とありますが、これは変える方針が無数にあるので、すごく難しいのではないかと思います。つまり、どれを残してどれを残さないというパターンが無数にあるのです。（ひねくれものは４つそろったものも崩すかもしれません）一番難しいオールを狙うのに最もよい残し方をするとか条件があれば考えられるのかもしれませんが・・・
お礼
とても詳しい説明ありがとうございました。 ですが、中学生なのでできれば中学の内容で解ける方法を教えて欲しいです。 ＾と！の意味が調べてもよく分からないので... 本当にすいません。 下のＵＲＬの所にに自分でやった方法を載せたのですけど、それはめちゃくちゃ時間が掛かったし、「目が４つ並んでいる（ショート）」と「目が５つ並んでいる（ロング）」の確率を求めることが出来なったので、もっと簡単な方法はないか、（ショート）（ロング）を見つける方法はないか（中学の範囲で）、と思い質問しました。 ちなみに「同じ目２個が２組（ツーペア）」はあの図みたいなものを使わないと無理でした... 矢印は、何分の何でそっちに行くかを表しています。見にくくてすみません。 １回目変えた後⇒（３１１分の２３３２８） ←これは間違っていると思うけど、オールだけを狙った場合です。 例えば「同じ目が３個で残り２個も同じ目（フルハウス）」なら残りの２個だけ変える、「同じ目が５個（オール）」なら何も変えない場合です。 これなら２回目変えた後の確率を求めることが出来るのでしょうか？ 下のパスワードは abcdcbaです。 無茶苦茶なこと言ってすみません。
お礼
返信ありがとうございました。 自分でも理解して解けるように頑張ってみます。