順序関係の反射律について

質問

順序関係の反射律は、「任意の元aについてa≦aが成立」という条件ですが、「a＜a」つまり、「aがaより大きい」という状態は存在しない気がします。aはaなのだから、aとaを結ぶ関係はa＝aしかないと思うのですが、「a＜a」の条件はどのようにとらえればいいのでしょうか？わかる方いたら教えてください！！よろしくお願いします！

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

そかな？

一般の順序関係「≦」を定義したとき、
a＜b ⇔ (a≦b かつ a≠b)
a≧b ⇔ b≦a
a＞b ⇔ b＜a
は、付随して定義しておくのが慣習
…というか人情で、
「≦」の存在下に「＜」を他の意味に定義
したりすれば、まず間違いなく
後で混乱する。

そのような定義下で、
「＜」が「より小さい」を表すか否かではなく、
「より小さい」という語句の意味を
「＜」によって定義する。
例えば、
集合 a が集合 b に含まれることを a≦b
と定義すれば、その意味においては、
a が b の真部分集合であることを
「a は b より小さい」と言ってしまう。

順序を定義するってのは、
そういうことだと思うけど。

お礼

回答ありがとうございます！
≧の定義がわかりました！＞は≧によって定義されているものなのですね。知りませんでした。

回答No.7

ringouri3

通常の数の大小関係の記号と順序関係の記号とを同じものにするから、このような誤解が生じるのかも知れませんね。
「≦」とか「＜」はやめて、「く」（か、き、く、の「く」の字に似た記号。角の丸くて斜線部が湾曲した記号）を採用している本もあります。

また既に指摘されているように、順序関係を「より大きい」とか「より小さい」と言うのも（習慣的に使われる表現ですが）通常の大小関係と混同したり誤解したりする可能性があるので、避けた方が良いと思います。

順序関係を抽象的に把握するためには、この記号は（初心者には）不適切な気がします。

お礼

回答ありがとうございます！ウェキペディアでは関係を～やRであらわしてa～bやaRbなどで表していますが、それでも関係を表していることになりますよね？！くの字が使われたりするのですね。ありがとうございます。

回答No.6

Tacosan

いやいや, 「< は定義しないままにする」というオプションが常に存在しまっせ＞#5... って, まあそういう妙な突っ込みをするやつがいるかもしれんから「慣習というか人情」という表現をしているんだろうとは思いますけど. ただ, 個人的には「それはやっぱり一言断ってほしい」と思う.
でつらつらかんずるにそもそも最初に「順序関係」とか言いながらそいつに名前がないのが問題ではないかと思えてきた. もちろんこの順序関係が「≦」であらわされてるんだろうなぁとは思うけど, 厳密には問題になりえるかなぁ, と思ったりするわけでして.

お礼

確かにそうですね。回答ありがとうございます！

回答No.4

Tacosan

「順序関係の反射律は、『任意の元aについてa≦aが成立』という条件ですが」って書いたときに「この『≦』で表される関係は一般の順序関係であって『(整数や実数などの) 大小関係』を表すものではない」ってことをきちんと認識していましたか?
そして, ここでは「≦」で表される関係が出てきているだけであって, 実は「<」で表される関係は定義されていない. だから, 「より大きい」とか述べること自体が不当. もちろん #2 の最後でいわれるように「a≦b かつ a≠b」として a<b を定義すればいいんだけど, この定義もなくいきなり出すんだとしたら間違っているし, この定義を採用するなら「a<a はありえない」というのはある意味当然.
ととと, 見返してみると最初の文章がそもそもおかしい. 「反射律」自体は順序関係とか同値関係とかそういったことは全くお構いなしに考えることができる性質です (反対称性などもそう). つまり「順序関係の反射律」というのは変. こう書かれると「じゃあ『同値関係の反射律』とか『順序関係でも同値関係でもない一般の関係の反射律』とかが別にあるのか?」と突っ込まれたときに困るかもしれない.
再度確認しておくと, 整数や実数の大小関係を表すという場面においては「a≦b」は「a<b または a=b」を表すんだけど, 一般的な順序関係を表す場面では「≦」で 1つの記号です. 分けて扱ってはいけません.

お礼

回答ありがとうございます！！
「この『≦』で表される関係は一般の順序関係であって『(整数や実数などの) 大小関係』を表すものではない」のですか！？順序関係は順序がついているのでどちらが大きいかという大小関係をあらわすものだと思いました。そうではないのでしょうか！？

回答No.3

Tacosan

一応念のためですが, 「<」という記号で表される関係があったとしても, それは必ずしも「より大きい」を意味するわけではないです.
もちろん分かった上であえて「より大きい」と書いているのならいいのですが....

お礼

「「<」という記号で表される関係があったとしても, それは必ずしも「より大きい」を意味するわけではない」のはなぜでしょうか？！

回答No.2

alice_44

a≦a は、「a=a または a＜a」という意味です。
a=a のほうが成立していますから、
a＜a の成立・不成立は
a≦a の真偽に影響しません。
ピンとこなければ、「または」の意味について
勉強してみるとよいでしょう。

本当は、
反射律を含むいくつかの法則(公理)によって、
最初に、≦ の意味を定め(定義し)、
a＜b ⇔ (a≦b かつ a≠b) で、
＜ のほうを定義するんですがね。

お礼

なるほど！順序関係の性質に、反射律が入っているのは、二項関係≦が反射律、推移律、反対称律の三つすべてで成り立つというためには、反射律の条件がa=aではだめですもんね。二項関係≦が全ての律で成り立つようにするために、あえて、a≦a のように書いたのでしょうね・・。どうでしょうか？！実際にa＜aという状態はありえないんですよね。
a≦a が、「a=a または a＜a」という意味だということを知りませんでした！！ありがとうございました！！

回答No.1

Tacosan

この文脈では「<」という関係は定義されていない.
あなたが勝手に「≦」を「= または <」と思い込んでいるだけ.