背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.1

kabaokaba

なんで同じかという根拠の方が知りたいなあ

「AならばB」の対偶てのは
「Bでない」ならば「Aでない」
を示すこと．
さらにこの対偶命題を示すのに背理法を使ったっていいんだ．

背理法ってのは，
「A=>B」を示すのに
「Aかつ「Bでない」」から矛盾を引き出すこと．
このとき，「Aでない」を示すことで矛盾だと主張することは
よくあるけども，別に「Aでない」じゃなくたっていい．
それなりに有名な既存の定理と
矛盾することを示したっていい．

だから，「対偶の証明」と「背理法」は
無関係とはいわないけどもまったく別のもの．

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

背理法とは「判断・命題の否定から矛盾を導き・・・」と定義されています。

　ここで扱う命題の否定とは、形式的にはA⇒Bの否定￢(A⇒B)か、要素命題に対する￢Bの事です。数学や論理的命題の場合はこれ以外考えられない。貴方の言われる通り、￢(A⇒B)≡￢(￢A∨B)≡(A∧￢B)で、故に不条理で否定されれば前者の場合A⇒Bになります。

「命題(判断)の否定」という命題(判断)の意味を、条件命題(A⇒B)全体と考えるか要素命題(判断)Bだけと考えるかにより、その否定は￢(A⇒B)か￢Bかになります。
　￢(A⇒B)≡(A∧￢B)を仮定して矛盾に至る場合は、Aは元々条件命題の前提条件として仮定されているので、結局￢Bの仮定から推論はスタートします。

　￢Bを仮定する事から生じる矛盾は、この推論に関係するグループ内だけの、公理や定義や証明済みの定理との関係以外にはありえません。
故に、記号で表現すれば、￢A∨￢K1∨￢K2∨・・・∨￢Knの中のどれかです。∴￢B⇒(￢A∨￢K1∨￢K2∨・・・∨￢Kn)≡￢B⇒￢(A∧K1∧K2∧・・・∧Kn)と表現でき、対偶から(A∧K1∧K2∧・・・∧Kn)⇒Bとなって原命題が証明されます。

　ここでのK1∧K2∧・・・∧Kn　は、既に証明されている命題や定義、公理群で、当初A⇒Bを証明するときには、このような既に証明済みの命題、定義、公理群は当然使用されることになりす。
　単独で￢B⇒￢Aが導かれて証明される場合が、対偶による証明の基本形になりますが、表面に出ないものを詳細に書けば上記のようになり、これは対偶という以外に正確な表現はないと思われるのです。

補足

背理法について良く知っている知識レベルの高い方はいませんか。

特に((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢Aが背理法の根拠式だという方がいたら、その理屈を教えて下さい。