背理法による証明

質問

以下の問題を背理法で証明したいのですが・・・。なかなか進まなくて。
どなたかお分かりの方がいらっしゃいましたらお願いいたします。

ｎは自然数とする。このとき(n-1)^3+n^3+(n+1)^3は９の倍数であることを証明しなさい。

です。
連続する３つの数の積が3の倍数になることを利用するとは思うのですが・・・。よろしくお願いいたします。

回答No.5

kkkk2222

ーーー
＞＞連続する３つの数の積が３の倍数に・・・。

(a^3)+(b^3)+(c^3)ー3(abc)
=(a+b+c)((a^2)+(b^2)+(c^2)ー(ab+bc+ca))

(a^3)+(b^3)+(c^3)
＝(a+b+c)((a^2)+(b^2)+(c^2)ー(ab+bc+ca))＋3(abc)

a＝(n-1)、
b＝n、
c＝(n+1)、

Ｐ＝(n-1)^3+n^3+(n+1)^3
＝(a^3)+(b^3)+(c^3)
＝(a+b+c)((a^2)+(b^2)+(c^2)ー(ab+bc+ca))＋3(abc)
＝（(n-1)+(n)+(n+1)）【［(n^2)-2n+1+(n^2)+(n^2)+2n+1］－［(n-1)(n)＋(n)(n+1)＋(n+1)(n-1)］】
　　＋３（Ｎ－１）（Ｎ）（Ｎ＋Ｉ）
＝３Ｎ【［３(n^2)＋２］－［３(n^2)ー１］】＋３（Ｎ－１）（Ｎ）（Ｎ＋Ｉ）
＝３Ｎ【３】＋３（Ｎ－１）（Ｎ）（Ｎ＋Ｉ）
＝９Ｎ＋３（Ｎ－１）（Ｎ）（Ｎ＋Ｉ）
　　↑　　　　↑連続する３つの数。
ーーー

回答No.4

noname#47975

(n-1)^3+n^3+(n+1)^3を展開すれば、
=n^3-3n^2+3n-1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1
=3n^3 + 6n
=3(n^3+2n)
となる事から、(n^3+2n)が３の倍数になる事を示せば良いだけです。
やり方は、n = 3k,3k+1,3k+2を代入します。

背理法は無理に使わなくても良いと思います．．。

回答No.3

ringouri

「数学的帰納法」であれば簡単に証明できますが、「背理法」でとなると... ？
このような問題で、あえて「背理法」を使う意味が理解できませんが、何か、そのような証明法の制限が課せられているのでしょうか？

回答No.2

himajin100000

ごめんなさい、全然背理法じゃありませんでした。撤回します。

回答No.1

himajin100000

連続する3つの数は

3k,3k+1,3(k+1)-1
3k-1,3k,3k+1
3(k-1)+1,3k-1,3k

のどれか

当然
(3k)^3は9の倍数

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2-xy+y^2)
と因数分解できるから・・・

でいけないかな？