Utt=Uxx
U(0,t)=U(4,t)=0(t>=0)
U(x,0)=2sinπx+5sin2πx
Ut(x,0)=1 (0<=x<=4) (UtはUのtに関する偏微分)
U(x,t)=X(x)T(t)とおく。
Utt=T"(t)X(x) , Uxx=T(t)X"(x)だから
T"(t)X(x)=T(t)X"(x)
∴T"(t)/T(t)=X"(x)/X(x)=－λ^2 (λは常数)
よって
T"(t)+λ^2T(t)=0・・・(1)
X"(x)+λ^2X(x)=0・・・(2)
境界条件から
U(0,t)=X(0)T(t)=0 , U(4,t)=X(4)T(t)=0を満たし、恒等的に0でないためにはT(t)≠0
∴X(0)=0 , X(4)=0を満たす恒等的に0とならない(2)の解を求める事になる
λ＞0 , λ=0 , λ＜0で場合分けする必要があるが、X(x)が恒等的に0とならないのは
λ＞0の場合である。
よって一般解
X(x)=C1cos(λx)+C2sin(λx)
X(0)=0 , X(4)=0よりC1=0 , X(4)=C2sin(4λ)=0・・・(3)
(3)からC2≠0 、sin(4λ)=0 よってλ=kπ/4 (k=1,2,3・・・)(λ=λ(k)と表現する)
∴X(x)=X_k(x)=C2sin(kπx/4)だが、固有関数は定数とは無関係に定められるので、簡単のためC2=1とする。
よってX_k(x)=sin(kπx/4)
(1)から
T(t)=T_k(t)=a(k)cos(kπt/4)+b(k)・sin(kπt/4) (a(k) , b(k)は任意常数)
よって
U(x,t)=U_k(x,t)=sin(kπx/4)・｛a(k)cos(kπt/4)+b(k)・sin(kπt/4)｝
従って
U(x,t)=Σ[k=1～∞]sin(kπx/4)・｛a(k)・cos(kπt/4)+b(k)・sin(kπt/4)｝
Ut(x,t)=Σ[k=1～∞]sin(kπx/4)・kπ/4・{b(k)cos(kπt/4)-a(k)・sin(kπt/4)}
初期条件から
2sinπx+5sin2πx=Σ[k=1～∞]a(k)sin(kπ/4・x)
1=Σ[k=1～∞]kπ/4・b(k)sin(kπ/4・x)
∴a(k)=1/2∫[0,4](2sinπx+5sin2πx)・sin(kπx/4)dx
b(k)=2/kπ・∫[0,4]sin(kπx/4)dx
a(k)=0 (k=1,2,3・・・)
b(k)=16/((2n-1)π)^2 (k=1,2,3・・・)
また、k=0のときは初期条件となるためU(x,t)=2sinπx+5sin2πx
∴U(x,t)=2sin(πx)+5sin(2πx)+(16/π^2)・Σ[n=1～∞](1/(2n-1)^2)・sin((2n-1)πx/4)・sin((2n-1)πt/4)
・・・・となるのだが・・・！？
お礼
非常にわかりやすい説明ありがとうございました。 任意定数の判定に戸惑ってしまって結局テストで解けなかっんですが、気になっていたんでとてもためになりました。 単位落としてそうなんで来年使わせていただくかもしれません。