境界条件・・・？

質問

無限区間における熱方程式の解についてです。
Ut-Uxx=0 (x∈R,t>0)

解U(t,x)においてU(t,-∞)=0,U(t,∞)=1という境界条件が
成り立たなければならないのは何故でしょうか？
どなたか解説お願いします。

回答No.3

darekaosieteyo

補足ありがとうございました。

expはどこから出てきたんですか？？？

等、まだ疑問はありますが、話の流れからは、
もともと与えられている境界条件にあう
ようにC1、C2を選んだって感じですよね。

自分も問題文の中の条件の書き忘れの様な気がします。

回答No.2

alice_44

何故も何も、そんなことは成り立ちません。

Ut-Uxx=0 を満たす解のひとつ U=f(t,x) と
勝手に選んだ定数 A, B に対して、
U=A+Bf(t,x) も又、Ut-Uxx=0 を満たします。
ということは、f(t,-∞)=0, f(t,+∞)=1 で
あるような解 f が存在すれば、
U(t,-∞)=A, U(t,+∞)=A+B となる解が
任意の A, B について存在します。
Ut-Uxx=0 の解が U(t,-∞)=0, U(t,+∞)=1 で
なければならないなんてことはありません。

そうではなくて、Ut-Uxx=0 の解の内で
U(t,-∞)=0, U(t,+∞)=1 を満たすものを
何らかの理由で見つけたい…ということでは
ないでしょうか。その理由は、数学にはなく、
解を見つけたい当人に聞くしかありません。
貴方の読んだそのテキストには、理由が書いて
ありませんでしたか？

補足

友人数人とも本文を読みましたが、そのような特記はありませんでした。
まあそういう解を見つけたい…ということなのでしょうね。ミスプリも多い教授のレジュメなので、そんな気がします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

darekaosieteyo

U(t,∞)=1　←　これあってます？

ざっと見た感じ、ネットではそのような下りを見つけることが出来ませんでした。
ちょっと興味あるので、どのような問題について、どのような文脈の
流れの中で出てきたのか逆に教えてください。

(PDFとか画像とか添付して下さると・・・。)

補足

ご回答ありがとうございます。
自己相似解u(t,x)=t^(-α)w(x/(t^1/2))について考えておりました。
ここでαは実数定数、w(ξ)はR上の関数です。
このuを熱方程式に代入してwの方程式を計算しました。
結果的に

「u(t,x)=c1+c２∫(-∞～x/(t^1/2))exp(-τ^2/4)dτ（t>0,x∈R)
となる。
ここでc１＝０、c２＝1/(2π^1/2)とおくことによって
x=-∞、x=∞における境界条件u(t,-∞)-0、u(t,∞)=1が成り立つ」

となっているんです。
もし補足が足りないようであればその旨をお伝えください。