下記の解き方、解答わかる方、教えて下さい。

質問

一次元の波動方程式Utt=6Ｕxx
(0<x<1.  t>0)
u(0,1)=u(1,t)=0,  (境界条件)
u(x,0)=u0(x)=0  (初期条件)
のもとでとけ。

u0={2/3x  (0<x<1/2)
       -2/3(x-1)    (1/2<x<1)

とする。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

与えられたような境界条件と初期条件では数値的に解くしかないと思います．

もし，これらの条件が例えば次のようならFourier級数展開で手計算で解けます．

境界条件：u(0,t)=u(1,t)=0
初期条件：u(x,0)=u_0(x),∂u(x,0)/∂t=0

u(x,t)はxに関して周期2の奇関数と考え，正弦級数に展開します．

u(x,t)=Σ_{n=1}^∞b_n(t)sin(nπx)
b_n(t)=2∫_0^1u(x,t)sin(nπx)dx

∴∂u(x,t)/∂t=Σ_{n=1}^∞(db_n(t)/dt)sin(nπx)

∂u(x,t)/∂t=0より

※db_n(0)/dt=0

波動方程式に代入すると

Σ_{n=1}^∞(d^2b_n(t)/dt^2)sin(nπx)=Σ_{n=1}^∞b_n(t){-6(nπ)^2}sin(nπx)

∴d^2b_n(t)/dt^2=-6(nπ)^2b_n(t)

※を満たす解は

b_n(t)=b_n(0)cos(√6nπt)

ここで

b_n(0)=2∫_0^1u_0(x)sin(nπx)dx

=(4/3)∫_0^{1/2}xsin(nπx)dx+(4/3)∫_{1/2}^1(1-x)sin(nπx)dx

=(4/3)[∫_0^{1/2}xsin(nπx)dx-∫_{1/2}^0(1-x)sin(nπ(1-(1-x)}d(1-x)]

=(4/3)[∫_0^{1/2}xsin(nπx)dx+∫_0^{1/2}xsin(nπ(1-x)}dx]

=(4/3)[∫_0^{1/2}xsin(nπx)dx-(-1)^n∫_0^{1/2}xsin(nπx)}dx]

={4(1-(-1)^n)/3}∫_0^{1/2}xsin(nπx)dx

b_{2n}(0)=0

b_{2n-1}(0)=(8/3)∫_0^{1/2}xsin{(2n-1)πx}dx

=(8/3){[-xcos{(2n-1)πx}/{(2n-1)π}]_0^{1/2}+∫_0^{1/2}(cos{(2n-1)πx}/{(2n-1)π})dx}

=(8/3)(-2^{-1}cos{(n-1/2)π}/{(2n-1)π}+sin{(n-1/2)π}/{(2n-1)^2π^2})

=(8/3)sin{(n-1/2)π}/{(2n-1)^2π^2}

=8(-1)^{n-1}/{3π^2(2n-1)^2}

こうして，

u(x,t)=Σ_{n=1}^∞8(-1)^{n-1}/{3π^2(2n-1)^2}cos{(2n-1)π√6t}sin{(2n-1)πx}

となります．見やすくするために

u_0(x)=Σ_{n=1}^∞8(-1)^{n-1}/{3π^2(2n-1)^2}sin{(2n-1)πx}

を使うと，積和の公式

cos(y)sin(x)=(1/2){sin(x-y)+sin(x+y)}

により

（☆）u(x,t)=(1/2){u_0(x-√6t)+u_0(x+√6t)}

となります．左右のu_0(x)の高さ半分の波が速度±√6で衝突していることがわかります．・・・シミュレートすると面白いと思います．

☆はStokesの波動公式

u(x,t)=(1/2){u(x-√6t,0)+u(x+√6t,0)}+{1/(2c)}∫_{x-ct}^{x+ct}{∂u(y,0)/∂t}dy

を用いると，一発で得られます．これを知っているとあまりに簡単なのでFourierの方法を紹介しました．

回答No.1

178-tall

結構、長いハナシになります。

ランチ・アワーを潰すぐらいじゃ済みそうもない。
…ので、参考 URL の pdf でもダウンロードして、ゆっくりご吟味のほどを。

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/partial/index.pdf