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この問題が分りません 教えてください・・・・
５個の数字０・１・２・３・４から異なる３個を並べて３ケタの数字をつくるとき、３の倍数は全部で何通りできますか。 と言う問題なのですが・・・・よろしくお願いします
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各桁の数字を足して３の倍数ならば、その数は３の倍数です。 （３でなくても、６や９や１２や・・・であればよい。） 足して３の倍数になる組み合わせは・・・ ３つの中で０が最小 Ａ ０１２ Ｂ ０２４ ３つの中で１が最小 Ｃ １２３ ３つの中で２が最小 Ｄ ２３４ ＣとＤのパターンは、それぞれ 3Ｐ3 ＝ ６通り。 具体的には、小さい順に Ｃ １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１ Ｄ ２３４ ２４３ ３２４ ３４２ ４２３ ４３２ これは簡単。 ＡとＢは、頭に０があるとまずいので、それぞれ・・・ ３つから３つ選ぶ順列の数 － 頭が０で下の２桁を２つから２つ選ぶ順列の数 ＝ 3Ｐ3 － 2Ｐ2 ＝ ６ － ２ ＝ ４通り 具体的には、小さい順に、 Ａ １０２ １２０ ２０１ ２１０ Ｂ ２０４ ２４０ ４０２ ４２０ よって、 Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＋ Ｄ ＝ ４ ＋ ４ ＋ ６ ＋ ６ ＝ ２０通り が答えであり、具体的には、 １０２ １２０ ２０１ ２１０ ２０４ ２４０ ４０２ ４２０ １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１ ２３４ ２４３ ３２４ ３４２ ４２３ ４３２ です。 以下、以前のＱ＆Ａに投稿した私の回答より。 ---- ３の倍数より簡単なのが、 「各桁の数字の和が９の倍数ならば、９で割り切れる」 です。 実は、これを先に考えるのが、「３で割り切れる」を理解する近道です。 ある自然数の、１の位の数字をａ0、１０の位の数字をａ1、１００の位の数字をａ2・・・ と置けば、 元の数 ＝ ａ0×１ ＋ ａ1×１０ ＋ ａ2×１００ ＋ ・・・ ＝ ａ0×１０^0 ＋ ａ1×１０^1 ＋ ａ2×１０^2 ＋ ・・・ ＝ Σ（ａn×１０^n） ＝ Σ（ａn×１） ＋ Σ｛ａn×（１０^n － １）｝ ＝ Σａn ＋ Σ｛ａn×（１０^n － １）｝ （ａnは、０以上の整数） （ｎ＝０～＋∞） ところが、１０^n から１を引くと、必ず９だけが並んだ自然数（ただし、ｎ＝ゼロのときだけはゼロ）になります。 ＜例＞ １０^2 － １ ＝ １００ － １ ＝ ９９ １０^7 － １ ＝ １０００００００ － １ ＝ ９９９９９９９ これらは、必ず９で割り切れますよね。 つまり、上の式における （１０^n － １） は、９の倍数です。 ですから、 ａn×（１０^n － １） も、９の倍数です。 したがって、 元の数 ＝ Σ（ａn） ＋ ９の倍数 と表すことができてしまいます。 ですから、各桁の数字の合計 Σ（ａn）も９で割り切れれば、 元の数 ＝ ９の倍数その１ ＋ ９の倍数その２ ＝ ９の倍数その３ となって、元の数も９で割り切れます。 これで、「９で割り切れる」の説明は完了です。 ----------------------- 各桁の数の和である Σａn が９で割り切れなくても、３で割り切れれば、 元の数 ＝ 各桁の数の和 ＋ Σ｛ａn×（１０^n － １）｝ ＝ Σａn ＋ ９の倍数 ＝ ３の倍数その１ ＋ ９の倍数 ＝ ３の倍数その１ ＋ ３×（３の倍数その２） ＝ ３の倍数その３ となり、元の数は３で割り切れます。
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- ORUKA1951
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３の倍数には、各桁の数を足した数が３になる必要がありますね。 この５つの数字から、３になる組み合わせを探す 0 + 1 + 2 0 + 2 + 4 1 + 2 + 3 しかないかな？ この問題のひっかけは、最初に0が来ると３桁にならないこと。
お礼
ありがとうございます
まずは樹形図を書きましょう。
お礼
ありがとうございます
- gohtraw
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３の倍数はその各位の数を合計すると３の倍数になります。例えば１２３であれば１＋２＋３＝６です。なので、合計が３の倍数になる組み合わせを考え、それぞれの組み合わせで何通りの数が出来るか計算すれば答えが出ます。
お礼
ありがとうございます。
お礼
ありがとうございます。