数学の問題がわかりません。どなたか教えてください。

質問

数学の問題がわかりません。どなたか教えてください。

（x+1+1/x）^5を展開したとき、定数項はなんであるか。

という問題です。

解説に

5!/0!5!0!＋5!/1!3!1!+5!/2!1!2!とか何とか書いてあるんですけど意味が分かりません。

助けてください。。。

回答No.3

banakona · ベストアンサー

５個のものを並べる方法は５！通り。
　なぜなら、１個目にくるのが５通り、２個目にくるのが残りの４通り、３個目にくるのが残りの３通り・・・となるから。

５個のもののうち、赤が１個、青が１個、黄が３個のときの並べ方はどうなるか。
黄の３個は区別がつくものと仮定して、黄ａ、黄ｂ、黄ｃとすると、異なるものが５個あるものとして扱えるので、上記と同じで５！

ところが黄ａ、黄ｂ、黄ｃは実際には区別がつかないので、たとえば黄ａ、黄ｂ、黄ｃと黄ａ、黄ｃ、黄ｂを同一視する必要があります。（間に赤や青が挟まっていても同じです）
これには、黄ａ、黄ｂ、黄ｃの並べ方の総数を調べ、それで全体を割ればいい。黄ａ、黄ｂ、黄ｃの並べ方の総数は　３！
で、答えは　５！／３！＝２０通り　　・・・（＊）

これを一般化して、同じものがｐ個、ｑ個、ｒ個ある場合は、
　（ｐ＋ｑ＋ｒ）！／ｐ！ｑ！ｒ！
となります。ここではｐ、ｑ、ｒの３種類ですが、４種類以上でも２種類でもかまいません。

本問のＢは、ｐ＝１、ｑ＝２、ｒ＝２の場合を求めたことになります。

（＊）も本当は　５！／１！１！３！と書くべきです。

お礼

ほぉほぉ、あぁなるほど。あなたは天使ですか?

理解できましたありがとうございます。本当に数学ができなくて困ってしまいますね。ありがとうございました。

回答No.4

banakona

＃１です。

訂正：図で、上から３番目に短い赤線がありますが、これは「１」から斜め下の「１/ｘ」へ向かうべきです。

回答No.2

bgm38489

1/x=x^(-1)として考えたら、展開しやすいのでは？
定数項になるのは、１だけを掛け合わせたところと、ｘ、x^(-1)を同数だけ掛け合わせたところの合計です。実際に（…）（…）（…）（…）（…）と並べれば、答えが見えてくると思います。組み合わせで解いてるのは、２個ずつ、１個ずつと考えているわけ。

回答No.1

banakona

下の図は（x+1+1/x）を縦に５つ並べたものです。

同類項をまとめずにバラバラにして考えます。下の図で、上から下に流れる赤い線は、（x+1+1/x）^5をなす項の一つを表していて、この場合、ｘ、１，１、１／ｘ、ｘ、１／ｘを掛けたもので、掛けると１になります。
同様にして、定数項以外も含む全ての項は、赤い線がどこを通るかによって決まります。

定数項は、掛けて１になる赤い線が何本ひけるかを数えることになります。
定数項になるのは、赤い線が通過するｘと１／ｘの個数が等しい場合となります。
それは赤い線が・・・
　Ａ．「１」のみを通過する場合
　Ｂ・「１」を１個、「ｘ」を２個、「１/ｘ」を２個　通過する場合
　Ｃ・「１」を３個、「ｘ」を１個、「１/ｘ」を１個　通過する場合
です。

Ａが１通り。
Ｂが５！／（１！２！２！）
Ｃが５！／（３！１！１！）

なので、上記のような式になります。

おまけ：こう考えると、２項定理の係数がｎ Ｃ ｒ となるのが納得がいきます。

補足

図までつけてくださってありがとうございます。

それでもわからないところがあります。本当にすいません。

Ｂが５！／（１！２！２！）
Ｃが５！／（３！１！１！）

と書いてありますが、なぜこの式で答えが導き出せるのかがわからないのです。

物分りの悪い少年で本当に申し訳ありません。