数学の解析の重積分分野についての質問です。

質問

数学の解析の重積分分野についての質問です。
画像の(2)の積分範囲の出し方がよくわからないので詳しく教えて下さい。
よろしくお願いします。
(Fは不等式０≦x≦y≦z≦a)

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＞Fは不等式０≦x≦y≦z≦a
＞積分範囲の出し方がよくわからないので詳しく教えて下さい。

　ひとつずつ考えていってみてください。

１）　ｘだけを変数と見ます（ｙ、ｚは定数とします）。
　　　⇒　０≦ｘ≦ｙ　　（ｘの積分範囲）

２）　ｘを忘れて、ｙだけを変数と見ます（ｚは定数とします）。
　　　⇒　０≦ｙ≦ｚ　　（ｙの積分範囲）

３）　ｘ、ｙを忘れて、ｚだけを変数と見ます。
　　　⇒　０≦ｚ≦ａ　　（ｚの積分範囲）

　ここから、積分の式を次のように書き換えます。（＃２さんと同じ式です。）

　　∫[0→a]dz ∫[0→z]dy ∫[0→y] dx (x+y)
　＝a^4/8

　もし積分範囲に不安があって、積分範囲の図形の体積が簡単に求められる場合は、被積分関数を　１　と置き換えて　積分結果が体積に一致するか確認してみてください。
　この問題のケースでは、積分範囲は三角錐で体積は　a^3/6 となって一致します。

お礼

なるほど！
わかりやすい解答どうもありがとうございます！
また機会があればよろしくお願いします！

回答No.2

endlessriver

∫[0,a]dz∫[0,z]dy∫[0,y]dx(x+y)

＃１の方の条件ですとz=0のとき、y=a となり、条件を満たさず。

回答No.1

info22_

>不等式０≦x≦y≦z≦a
の領域を三次元xyz座標空間で考えて下さい。
その領域をx,y,zのどの順序でもいいですから、逐次積分していけば自ずと積分範囲が決まります。
例えばx,y,zの順でに逐次積分するのであれば
先ずx,y,z座標空間での積分領域（逆さの三角錐の立体の内部）を描いて
積分範囲を決めていきます。
y,z固定して　x:0→y
次に
zを固定して　y:a-z→a
次に
z:0→a

以上を逐次積分で表せば
I=∫[0,a]{∫[a-z,a]{∫[0,y](x+y)dx}dy}dz=(3/8)a^4
となる。

逐次積分の積分変数の積分順序の選択は色々ありますので、積分がより
容易な順序を選択すれば良いですね。
他の順序でもやってみて下さい。

補足

解答ありがとうございます。
大体の流れはわかったのですが、まだわからない部分があります。
0≦x≦yは理解できたのですが、z-a≦y≦aになる理由がわかりません。