力のモーメント

質問

物理初心者です。よろしくお願いします。

問題は、
長さl, 質量mの棒を滑らかな鉛直の壁に立てかける。床は粗く、静止摩擦係数をuとする。角度シータを少しずつ小さくしていくと、やがて棒は滑り出す。その直前の角をシータ０として、tanシータ0を求めよ。

です。解答は、
床と壁からの垂直抗力をN, N'とおく、シータ０のとき、床からの摩擦は最大摩擦力uNとなり、B点では棒が右へ滑るはずだから、摩擦力の向きは左向きである。
上下のつりあいより、N=mg----☆
左右のつりあいより、N'=uN=umg
(ここまでは理解できました。)
A点のまわりのモーメントのつりあいより
mg*cosθ０*l/2 + uNlsinθ0　=Nlcosθ０
☆を代入して整理するとtanθ0=1/2u---答え

です。わからないのは、A点のまわりのモーメントのつりあいというところです。力のモーメントの問題でも棒が水平なときはわかるのですが、今回のように斜めの場合は、どのように求めればいいのでしょうか。物体が斜面を滑るときのように力を分解すればいいのでしょうか？それとも、軸を棒と水平にとって考えるのでしょうか。

普通に軸をとったときと棒方向に軸をとったときと両方で考えましたが、やはりモーメントの式の意味がよくわかりません。
基本だとは思いますが、どなたかアドバイスをよろしくお願いいたします。

回答No.5

noname#26313

>_0というのは力のことでしょうか。
θ0と書かれた角度のことです。
（0を小さく書ければよいのですが、それができませんので、「_0」をそれに当てた積りでした。説明すればよかったですね）

イメージしたのは以下の図のとおりです。

*は壁の部分、◇は棒を表わしています。

*|
*|
*|◇A点
*|・・・◇
*|・・・・・・◇
*|・・・・・・↓◇↑垂直抗力
*|・・・・・重力 ◇
*|・・・・・・←滑り摩擦＿＿＿＿

>どちらが右回りでどちらが左回りかです。そもそも糸でつるされている棒ならば回転もする
>かもしれませんが、床と壁にもたれかかっている棒が回転する？の意味がよくわかりません。
A点を中心にすると、重力、滑り摩擦は右に、垂直抗力は左に回そうとしますね。

これでお分かりでしょう。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

ただ、どの力がどちらの方向に回転するのかはやはりよくわかりません。
＞A点を中心にすると、重力、滑り摩擦は右に、垂直抗力は左に回そうとしますね。
とは、「A点を中心にする」とは紙面を中心にして、
「重力、滑り摩擦は右に」は紙面前方に回転がかかり、
「垂直抗力は左に回そうと」は紙面後方に回転がかかるということでしょうか。
んんん...よくわかりません。すみません。

回答No.4

noname#26313

失礼しました。
垂直抗力の場合は、「L×cosθ_0 をそれぞれ掛けるのです。」
とすべきでした。

回答No.3

noname#40706

式の様子から推測すると、Ａ点は　壁のようですね。　

＜力を分解すればいいのでしょうか？＞

力を棒と棒に直角方向に分解することが苦にならないのならば、それに越したことはありません。おっしゃるとおり、それでＯＫです。

そのとき、

「力の、棒に直角方向の成分×棒の長さ」

がモーメントの大きさです。

もう一つの考え方は、

下のサイトの〈１〉ように、力の大きさをそのまま使い、棒の長さを変えて考える方法です。

力の矢印（作用線）を延長して、Ａ点からその作用線に垂線を下ろします。その垂線の長さを棒の長さとみなす方法です。このとき、

「力の大きさ×垂線の長さ」

がモーメントの大きさです。

どちらの方法がわかりやすいかは、人それぞれです。

いずれにしても、はじめはなかなかわかりづらいところですので、図をかいて、じっくりお考え下さい。

その際、角度θを２０°とか、７０°とか「極端な」角度で図を書くことをおすすめします。つまり、なるべく「細長い」三角形を書くと言うことです。そうすると、長い辺短い辺、sin、cos　などをを間違えることがありません。

さらに、回答では壁のＡ点を中心の式を立てていますが、床のＢ（？）点を中心に式を立ててみてください。もう少し簡単な式になるような気がします。

壁からは矢印が１本、床からは矢印が２本出てますね。

ですから、床を回転の中心にすると、矢印が１つ減り、少し式が簡単になることが期待できることでしょう。

参考URL：

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/moment.pdf

お礼

ご回答ありがとうございます。
A点とB点の明示がなくてすみません。壁と接している点がAで、床と接している点がBでした。

参考ページみせていただきました。四通りの方法で解いてありましたが、やはり（１）がわかりやすかったです。

今回私は床からの垂直抗力Nを考慮するのを忘れていました。
これを加えて、棒の長さをかえてみる方法と力を分解する方法の二通りで行ったところ、両方で正しい解に達することができました。

アドバイス大変参考になりました！ありがとうございました。

補足

それから点Bでは床からの垂直抗力と摩擦力が働くので、こちらを原点として距離を０とした方がわかりやすいのですね。ありがとうございます！

回答No.2

noname#26313

棒が壁に接している点がAですね。

このA点の周りに棒を右回転、左回転させる向きに働く力、
すなわち棒に働く重力と床面に平行に働く摩擦力
（これらの力は、力が働く点から力の方向に回そうとするとすとA点を右に見ますね）、
そして垂直抗力
（この力は、力が働く点から力の方向に回そうとするとすとA点を左に見ます）に、
その力が働く点からA点までの長さの、力と直交する方向の成分、
つまり、棒に働く重力の場合は、(L/2)×cosθ_0、
床面に平行に働く摩擦力の場合は、L×sinθ_0、
垂直抗力の場合は、L×sinθ_0 をそれぞれ掛けるのです。

この、力に長さを掛けたものがモーメントで、
（右回りさせるモーメント）＝（左回りさせるモーメント）
と置いたものがモーメントの釣り合いの式です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

_0というのは力のことでしょうか。
一応教えていただいたとおりにできました。ありがとうございます。

ただわからなかったのは、どちらが右回りでどちらが左回りかです。そもそも糸でつるされている棒ならば回転もするかもしれませんが、床と壁にもたれかかっている棒が回転する？の意味がよくわかりません。
方向は上と下ということで逆方向というのはわかりますが、どちらが右方向の回転を起こし、どちらが左方向の回転を起こすかというはわかりません。もしよろしければ教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

nanashisan_

モーメントには棒と平行な力は関係ありませんから、棒に垂直な成分だけで比較するだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。