確率 袋から玉を取り出す

質問

❶赤玉7個と白玉3個が入っている袋から4この玉を取り出すとき、次の確率はいくらになるか
(1)赤玉2個と白玉2個となる確率
(2)少なくとも1個が白玉となる確率

❷赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す。
このとき1回目に赤玉が出たという条件の下で、2回目も赤玉が出る確率を求めよ。

まだ授業では習っていないので(予習の段階)、解き方なども教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#222520

ANo.2への補足に対する追加回答です。
なお、『通知メール』にチェックを入れてなかったので、回答が遅くなり、申し訳ありませんでした。

『ベイズの定理』とは、結果が確定している場合に、その結果から考察するものであり、質問では「1回目に赤玉が出たという条件の下で」という『条件付き確率』になります。
よって、補足にあるように、「1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個。ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2」と簡単に考えればいいです。

回答No.2

noname#222520

ANo.1の訂正です。
ANo.1は無視してください。

❶（訂正はありません。）
(1)
赤玉7個と白玉3個のすべてに区別が付くとすると、4個の玉の取り出し方は、10C4=210通り
赤玉7個から赤玉2個を選ぶ選び方は、赤玉7個に区別が付くとすると、7C2=21通り
白玉3個から白玉2個を選ぶ選び方は、白玉3個に区別が付くとすると、3C2=3通り
よって、求める確率は、
21*3/210=3/10
(2)
すべて赤玉となる確率は、(1)と同様に考えて、7C4/210=35/210=1/6
よって、求める確率は、
1-1/6=5/6

❷
まず、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えずに、一般な場合を考えます。
赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す場合、
1回目に赤玉が出て2回目も赤玉が出る確率は、3/5*2/4=3/10－(1)
1回目に赤玉が出て2回目に白玉が出る確率は、3/5*2/4=3/10－(2)
1回目に白玉が出て2回目も白玉が出る確率は、2/5*1/4=1/10－(3)
1回目に白玉が出て2回目に赤玉が出る確率は、2/5*3/4=3/10－(4)
以上が、起こり得るすべての場合（事象）であるから、当然に(1)+(2)+(3)+(4)=10/10=1
しかし、この質問の場合には、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えるので、
上の(1)と(2)の場合に限定して考えます。
この考え方は、『ベイズの定理』と呼ばれるものです。
そして、この考え方では、求める確率は、次のようになります。
(1)/((1))+(2))=3/10/(3/10+3/10)=3/10/(6/10)=3/6=1/2

（❷の別解）
1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個
ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2
このように考えた方が簡単でした。
なお、参考までに、「1回目に白玉が出たという条件の下で、2回目も白玉が出る確率」は、
上の『ベイズの定理』によると、
(3)/((3)+(4))=1/10/(1/10+3/10)=1/10/(4/10)=1/4
また、1回目に白玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉3個と白玉1個
ここから玉を1個取り出して、白玉が出る確率は、1/4

補足

>（❷の別解）
1回目に赤玉が出たのであれば、袋の中に残っているのは、赤玉2個と白玉2個
ここから玉を1個取り出して、赤玉が出る確率は、2/4=1/2

このようにして求めてもいいのでしょうか?
このように考えた方が簡単でした。

回答No.1

noname#222520

❶
(1)
赤玉7個と白玉3個のすべてに区別が付くとすると、4個の玉の取り出し方は、10C4=210通り
赤玉7個から赤玉2個を選ぶ選び方は、赤玉7個に区別が付くとすると、7C2=21通り
白玉3個から白玉2個を選ぶ選び方は、白玉3個に区別が付くとすると、3C2=3通り
よって、求める確率は、
21*3/210=3/10
(2)
すべて赤玉となる確率は、(1)と同様に考えて、7C4/210=35/210=1/6
よって、求める確率は、
1-1/6=5/6

❷
まず、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えずに、一般な場合を考えます。
赤玉3個と白玉2個が入っている袋から玉を1個ずつ、もとに戻さないで、2回続けて取り出す場合、
1回目に赤玉が出て2回目も赤玉が出る確率は、7/10*6/9=14/30－(1)
1回目に赤玉が出て2回目に白玉が出る確率は、7/10*3/9=7/30－(2)
1回目に白玉が出て2回目も白玉が出る確率は、3/10*2/9=2/30－(3)
1回目に白玉が出て2回目に赤玉が出る確率は、3/10*7/9=7/30－(4)
以上が、起こり得るすべての場合（事象）であるから、当然に(1)+(2)+(3)+(4)=30/30=1
しかし、この質問の場合には、「1回目に赤玉が出たという条件の下で」を考えるので、
上の(1)と(2)の場合に限定して考えます。
この考え方は、『ベイズの定理』と呼ばれるものです。
そして、この考え方では、求める確率は、次のようになります。
(1)/((1))+(2))=14/30/(14/30+7/30)=14/30/(21/30)=14/21=2/3