2重積分を使った球の体積の求め方

質問

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか？
どなたか詳しい方教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)　　z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから，
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう．

お礼

早速の回答ありがとうございます。
一度やったことがあったことなんですが、やっと思い出せました。ありがとうございます。

回答No.3

kony0

まず、ヤコビアンとは、「積分」で「変数変換」を行うときに使います。

簡単な例で１次元でいくと、
∫x^3 e^(x^2) dx を積分する際、
x^2=y とおいて、dy/dx = 2x だから、
与式=∫(1/2)x^2 * e^(x^2) * 2xdx
=∫(1/2)y*e^y dy
とやると思います。この「dy/dx = 2x」のあたりのところが鍵ですね。

じゃ、３次元だとどないなんねん、ってところですが、
dxdydz / drdθdΦ は、次の行列の行列式となります。

[(dx/dr,dx/dθ,dx/dΦ),
(dy/dr,dy/dθ,dy/dΦ),
(dz/dr,dz/dθ,dz/dΦ)]

ただし、この各要素は、偏微分です。（∂を打つのが面倒くさかったので、dと書いてしまっています・・・）

詳しくは、大学１回生の方が読みたくなるような微積の演習書をお読みください。

＃きちんとした定義とか、その辺は私は苦手で、表現とかにまずいところとかあるかもしれません・・・

お礼

ん～なるほど～(゜_゜;)ヤコビアンは難しとゆうことが分かりました。
大学１回生の方が読みたくなるような微積の演習書をよんで精進します。ありがとうございました。

回答No.2

kony0

球面曲座標変換(x,y,z)→(r,θ,Φ)とそのヤコビアンを使えばよいと思います。
ちなみに、体積を求めるので、３重積分ですかね。

∫∫∫r^2sinθ*drdθdΦ
(積分範囲は0≦r≦R, 0≦θ≦π, 0≦Φ≦2π)
となります。

補足

ヤコビアンってゆうのはどうゆうものなんですか？
この質問からは外れるんですが、もしお暇がありましたら今後の参考までに補足か参考URLを教えてください。
なにぶん右も左も分からん青二才なもんで、もう少し噛み砕いていただけるとのどごしさわやかかと思われます。