球の表面積と体積

質問

こんにちは。円の面積はπr^2で求まりますが球の表面積は何故４πr^2なのでしょうか？4が何故つくのか。
また球の体積は4/3πr^3ですが角錐や円錐の体積の場合は底面積×高さ÷3。球の場合も高さ(r)÷3の部分は同じですが多角形の面積＝多角形の面積の和＝球の表面積で球の表面積４πr^2をかけますよね。角錐や円錐は底面積をかけるのに何故表面積をかけるのでしょうか？変な質問ですいませんが回答お願いします。

回答No.4

BookerL · ベストアンサー

積分すればそうなる、というのが結論なんですが、積分を使わないと正確な説明は難しいです。

　球の体積から。
　角錐の体積は角柱の体積の 1/3 ということを証明なしに認めているので、円錐の体積は円柱の体積の 1/3 というのもいいですね。
　ここで証明なしに「球の体積は高さ２ｒの円錐の体積の２倍である」というのを導入します。つまり、高さ ２ｒ の円錐、半径 ｒ の球（＝高さ ２ｒ）、高さ ２ｒ の円柱 の３つの体積の割合は、１：２：３ になります。

　円柱の体積は 底面積 πｒ^2 × 高さ ２ｒ ＝ ２πｒ^3
　そこで 球の体積 ＝ ２πｒ^3 × 2/3 ＝ (4/3)πｒ^3
　（ついでに、円錐の体積 ＝ (2/3)πｒ^3 ）

　次に、球の表面積。
　球の表面に小さい三角形を考え、この三角形と球の中心を結ぶ三角錐を考えます。三角形の面積を ｓ とすると、三角錐の体積は

ｓ×ｒ÷３ ＝ (1/3)ｓｒ

　球の表面全体を小さな三角形に分け、それらの体積の和を取ると、
(1/3)ｓｒ の和 になりますが、これが球の体積 (4/3)πｒ^3 にひとしくなります。ここで三角錐の底面積 ｓ の和は 球の表面積 Ｓ になりますから、

　 (1/3)Ｓｒ ＝ (4/3)πｒ^3

　ここから Ｓ ＝ ４πｒ^2 が出てきます。

　下にサイトも参考になると思います。
　　　↓
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

お礼

回答ありがとうございます。分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.6

nettiw

回転体の表面積の公式は、
http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/hyoumenseki.html
断面積と書いてあるのは誤植です。断面(円）の周長です。

微小な曲線の長さ（微小な斜辺の長さ）=√[(dx)^2+(dy)^2]
と、断面の周長=2πyの積を集め（∫）て得られるんで、

S=∫(a,b) (2πy)√[(dx)^2+(dy)^2]
=2π∫(a,b) y(√[1+(dy/dx)^2])dx

球の場合は、四分円を回転させて２倍します。、(x≧0)
x^2+y^2=r^2、
y=√[r^2-x^2]
dy/dx=-x/√[r^2-x^2]
1+(dy/dx)^2=1+{x^2/(r^2-x^2)}=r^2/(r^2-x^2)
√[1+(dy/dx)^2]=r/√[r^2-x^2]

S=2・2π∫(0,r)(√[r^2-x^2])(r/√[r^2-x^2])dx
上手く√　が相殺して、定数の積分です。
S=4πr・∫(0,r)dx=4πr・[x](0,r)=4πr{r-0}=4πr^2
-----------------------------
同じ様に、回転体の体積公式は、
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int1/revolution.htm

微小な幅=dx と、断面積=πy^2の積を集め（∫）ます。

V=∫(a,b) (πy^2)dx=π∫(a,b) (y^2)dx

球の場合は、四分円を回転させて２倍します。、(x≧0)
表面積よりは計算はしやすいです。
x^2+y^2=r^2、y^2=r^2-x^2
V=2・π∫(0,r) (y^2)dx
=2π∫(0,r) (r^2-x^2)dx
=2π[{r^2)x-(1/3)x^3](0,r)
=2π{{r^3-(1/3)r^3}=2π・(2/3)r^3=(4/3)πr^3
------
角錐や円錐も同じように積分で求めます。

>>角錐や円錐は底面積----何故表面積を。

球の表面積を微小に分けると、微小な（平らな）底面と見えて、
高さはrなんで、それらを集めると、
V=(1/3)((S1+S2+・・・+Sn)r=(1/3)(4πr^2)r=(4/3)πr^3 と考えられますが・・・。

お礼

ありがとうございました。参考にさせていただきます。

回答No.5

sanori

こんにちは。
私は数学が得意なわけではないですし、球の表面積や体積の求め方を習ったこともないのですが、
若かりし頃に自分で考えたことをもとに回答します。

＞＞＞
円の面積はπr^2で求まりますが球の表面積は何故４πr^2なのでしょうか？4が何故つくのか。

地球儀のイメージで考えるとわかりやすいです。
θは緯度、φは経度と考えます。
地表において、
θは、－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲です。
φは、－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲です。

ラジアンに書き直せば、
θの範囲：　－π／２～＋π／２
φの範囲：　－π～＋π
です。

θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ
したがって、一つの円周の長さは、２πｒ・cosθ　で、
その幅（太さ）は、微小なθ幅である　ｒｄθ　です。
つまり、一つの円周の面積は、２πｒ・cosθ・ｒｄθ　です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を全部足せば、つまり、
この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になります。

表面積を求めるのですから、ｒは定数として扱うことができます。

∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ
　＝　２πｒ^2［sinθ］　（θ＝－π／２→＋π／２）
　＝　２πｒ^2・（１－（－１））
　＝　４πｒ^2

これで球の表面積が求まりました。

＞＞＞角錐や円錐は底面積をかけるのに何故表面積をかけるのでしょうか？

単純に「表面積をかける」と考えてしまうと、失敗します。
なぜかと言うと、分母に３が出現する理由を無視しているからです。

錐とのアナロジーはあり、たしかにそれで理解する方法もありますが、
下記のように考えるほうが簡単です。
（球の表面積がわかっていれば、体積の理解の仕方は、錐より球のほうが簡単です。）
地球の中心から見れば、地表（球の表面）に沿う動きは、すべて、ｒ（半径方向）に対して垂直です。
この「垂直」が重要なことです。

球の表面積は、先程求めたとおり４πｒ^2です。
球の体積は、半径ゼロから半径ｒまでの、厚さｄｒ　の薄皮の球の集合体です。
ここで、厚さをｄｒとできる理由が、上記の「垂直」です。

球の体積は、薄皮を全部足せば（＝積分すれば）よいわけです。
つまり、
∫４πｒ^2・ｄｒ　＝　３分の４　×πｒ^3　（ｒ＝０→半径）
　＝　３分の４　×π・半径^3　－　３分の４　×π・０^3
　＝　３分の４　×π・半径^3
となります。

ちなみに、まったく同じ考え方で、
円の面積　＝　１つの円周・ｄｒ　の集まり
　＝　∫２πｒ・ｄｒ
　＝　πｒ^2　（ｒ＝０→半径）
　＝　π×半径^2
です。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答ありがとうがとうございます。こういう考え方もあるんですね。ありがとうございました

回答No.3

10ken16

球を、スイカを割るようにします。

みんな、中心の甘いところが欲しいので、
必ず中心を含む平面で切ると、底面の部分が球面で、
先の尖った形になります。

これを（中心を通る平面で）どんどん細かく切っていくと
小さな球面を底面とする、高さ＝半径の錐体に近づきます。

球を細かい錐体の集まりと捉えれば、
各々の錐体の体積は、底面×半径／３です。
これを球全部にすれば、
底面積×半径／３ですね。

表面積は、あなたがどの学年かによりますが、
『区分求積法』（高校３年生で学びます）を使って
求めることになります。

お礼

回答ありがとうございます。大学生なんですが私立の偏差値の低い高校を出たため習わなかったです。区分求積法、、、初めて聞きました。ありがとうございました。

回答No.2

akina_line

こんにちは。

　下記サイトに同様な質問がありますので、参考にして下さい。
　　http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411934059

では。

お礼

回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.1

ymmasayan

積分を使えばきちんと求まるのですが、それを求めておられるようではないですね。

１．一寸大雑把ですが球形のおにぎりは円形の海苔４枚でほぼ包めそうな気がしませんか
２、スイカを４つ割りにして更に角錐形に切ります。
　　体積はほぼ角錐の集まりですから「／３」が出てきますね。
　　体積は表面積×半径／３に近いことが理解できますね。

お礼

回答ありがとうございます。積分を使うのですか。
ありがとうございました。