球の体積・表面積

質問

球の体積・表面積の公式ってどうやって導けばいいのでしょうか？
たしか球を無数の三角錐にわけたような気が。
わかるかたよろしくおねがいします！！

回答No.4

sankonorei · ベストアンサー

球の体積を求めるには、積分と微分を用いて公式を導きます。円の式を　ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２　これをｘ軸のまわりに回転させると、（原点が円の中心、半径ｒの円）
Ｖ＝π∫ｒ（上に書きます）-ｒ（下に書きます）ｙ＾２ｄｘ
　＝π∫ｒ、-ｒ（ｒ＾２－ｘ＾２）ｄｘ
　＝２π∫ｒ、０（ｒ＾２－ｘ＾２）ｄｘ
　＝２π［ｒ＾２ｘ－１／３ｘ＾３］ｒ，０
　＝４／３πｒ＾３　　と、公式が導き出せます。
表面積は、円周（２πｒ）の集合と考えられるので、換言すれば表面積を限りなく０に近づけたものと考えられるので、
球の表面積を微分したものと言えますから、逆に円周を積分すると、４πｒ＾２と言う公式が導き出せます。

お礼

わかりました、
どうもありがとうございました！！

回答No.3

Esna

Esnaです．

cosθは，cosφです．間違えました．
読み替えてください．ごめんなさい．

回答No.2

Esna

こんにちは．Esnaです．

極座標(r,θ,φ)で，
(1)球の表面積(半径r)
dθ,dφで作られる面積(球表面の微小な四角の面積)は，
イメージ的には，四角錐の底面の部分は，
次の式で書けて

　　r*rcosθdθdφ

になります．
よって，(0≦θ≦2π)(-π/2≦φ≦π/2)で積分すると，

　　∬r*rcosθdθdφ=r^2*2π*2 = 4πr^2

となります．

(2)球の体積(半径R)
(1)の場合に加えて，半径が(0≦r≦R)と変化するので
(1)を半径を変えながら，重ねていくイメージで，

　∫∬r*rcosθdrdθdφ = r^3/3 * 2π * 2 = 4πr^3/3

です．

お礼

なかなかむずかしいですねー
どうもありがとうございました！！

回答No.1

ikeisan

以前、似たような質問がありました。
参考にしてください。

なかなか面白いサイトを発見しました．
球の表面積
http://www2.ocn.ne.jp/~mint905/fhpstory/mikan/mikan.html

球の体積
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm

ちなみに，以上の２つのページでは，それぞれ求め方が独立してますが，
表面積がわかれば，その値から体積も求められます．
ちょっと図が描けないので，非常にわかりにくいと思いますが，
みかんを「細かく分ける」という考え方でも理解できます．
ご参考まで．

まず，みかんを房ごとに分けてみましょう．
さらに，この半円状の１房を，円の中心(みかんの種がある辺り)から放射状に切っていきましょう．すると，切られたみかんは，底面が少し膨らんだ四角錐のような形になりますよね．
もしこの四角錐が限りなく細ければ，底面は平らに見え，この四角錐の高さは近似的にｒとなります．このような四角錐状のみかんをずらっと並べます．そうすると，高さがrの四角錐が並んでいます．
このおびただしいみかんの総面積は，実は底面積が4πr^2，高さがrの
四角錐とおんなじ面積なんです（等積変形の理論から）．
したがって，
4πr^2×r×1/3=4/3πr^3
となります．

※「^2」というのは，2乗の意味です

お礼

参考になりました、ありがとうございました！！