ABをとおる直線のベクトル方程式は
(4,4,1)+t･(-8,-12,-4)/||-8,-12,-4||
=(4,4,1)+t･(-2,-3,-1)/√14
点Cへのベクトルは、
(6,6,5)
ABベクトルの先端からCに到るベクトルは
(6,6,5)-{(4,4,1)+t･(-2,-3,-1)/√14}
=(2,2,4)-t･(-2,-3,-1)/√14
その距離sは、
s=||(2,2,4)-t･(-2,-3,-1)/√14||
=||(2+2t/√14,2+3t/√14,4+t/√14)||
s^2={(2+2t/√14)^2+(2+3t/√14)^2+(4+t/√14)^2}
最短距離は∂s/∂t=0を満たす。
∂s^2/∂t=2s･∂s/∂t
∴ ∂s/∂t=(∂s^2/∂t)/(2s)
∂s/∂t=0、とするtは、∂s^2/∂tを0とするtであり、
∂s^2/∂t
=2{(2+2t/√14)･2/√14
+(2+3t/√14)･3/√14
+(4+t/√14)･1/√14}=0
(2+2t/√14)･2
+(2+3t/√14)･3
+(4+t/√14)･1=0
14t/√14+14=0
t=-√14
t=-√14、を代入すると、
(4,4,1)-√14･(-2,-3,-1)/√14
=(4+2,4+3,1+1)=(6,7,2)
【別解】
点Aが原点に合うよう、全体を平行移動させる。
すると、点Cは、C'{(6,6,5)-(4,4,1)}=(2,2,4)に移る。
このC'の平行移動後の直線A'B'、つまりO'B'への
正射影は、
{(2,2,4)･(-2,-3,-1)}･(-2,-3,-1)/||(-2,-3,-1)||^2
=(-4-6-4)･(-2,-3,-1)/14
=(2,3,1)
Cに最も近い最短距離の点は、平行移動を元に戻し、
(2,3,1)+(4,4,1)=(6,7,2)
