ベクトルがわからなくて困ってます(*_*)

質問

短大の過去問なんですが
答えが無いので解けないままでいます(;´∩｀)

解き方も一緒に教えていただけたら有難いです(>_<)

問
座標空間においてA(-1、2、-3)、B(2、4、-4)、C(-3、3、0)、D(x、y、4)を考える。

(1)B、C、Dが一直線上にある時のxとyの値は何か。

(2)ベクトルADがAB、ACの両方に垂直なときxとyの値は何か。

(3)cos∠BACを求めよ。

わかるとこだけでいいので
お願いします(>_<)

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)B、C、Dが一直線上にある時のxとyの値は何か。
それぞれ直交する単位ベクトルをe1,e2,e3とすると
B=2e1+4e2-4e3,C=-3e1+3e2+0e3
B-C=5e1+1e2-4e3
一直線上の条件はtを実数としてC+t(B-C)=D
t(B-C)=5te1+te2-4te3
C+t(B-C)=(5t-3)e1+(t+3)e2-4te3
Dの各係数と比較して
-4t=4からt=-1
x=5t-3=-8
y=t+3=2
(2)ベクトルADがAB、ACの両方に垂直なときxとyの値は何か
AD=(x+1)e1+(y-2)e2+7e3
AB=3e1+2e2-1e3
AC=-2e1+1e2+3e3
AD、AB垂直より3(x+1)+2(y-2)-7=3x+2y-8=0
AD、AC垂直より-2(x+1)+(y-2)+21=-2x+y+17=0
連立で解いてx=6,y=-5
(3)cos∠BACを求めよ
AB=B-A=3e1+2e2-1e3
AC=C-A=-2e1+1e2+3e3
cos∠BAC=(-6+2-3)/{√(9+4+1)√(4+1+9)}=(-7)/14=-1/2

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(1) C + t(C-B) = D (tはスカラー値)　と置けば t=1 なので x=-8, y=2
(2) AB=(3, 2, -1), AC=(-2, 1, 3), AB X AC = (7 , -7, 7) (Xは外積)
AD = A + s(AB X AC) (sはスカラー)　なので s = 1, x=6, y=-5
(3) cos∠BAC = AB・AC / (|AB|・|AC|) = -7 / (√(14)・√(14)) = -1/2

オンラインで書いているから間違っているかも。検算してみてください。

回答No.1

Tacosan

なぜ「答えが無いので解けないままでいます」ということになってしまうのか, さっぱりわからん. 答はなくとも解くことはできるはずだよね.

例えば, 2つのベクトルがどのような条件を満たすときに垂直なのかを理解していれば (2) は解けるはずでしょ? (3) にいたっては「ベクトルを陽に使わない解き方」すら存在する.

基本的なところからやりなおしたら?