算数得意な方、お願い(人'д｀o)

質問

解説お願いします。

問題
電卓を使って、１１から５０までのすべての整数の和を求める問題が出ました。
Mさんが、11から順番に50まで加えていったところ、結果が１００３１となりました。
すると隣で見ていたS君が、「正しい答えは、１２２０だよ。途中で二回、＋ボタンを押し忘れていたよ。」
と、教えてくれました。
Mさんは、どの数字のあとと　どの数字のあとに　＋ボタンを押し忘れてしまったのでしょうか？
それぞれ書きましょう。
答えはひとつではありません。

解答：
１回は　40のあと、もう１回は、４９のあと

回答No.2

ORUKA1951

この問題自体は、有名なガウス少年の方法で解けます。

　　11 + 12 + 13 + ・・・・ + 48 + 49 + 50 = X
＋）50 + 49 + 48 + ・・・・ + 13 + 12 + 11 = X
------------------------------------------------
　　61 + 61 + 61 + ・・・・ + 61 + 61 + 61 = 2X
　　　　　　40×61　　　　　　　　　　　　　　 = 2X
X = 1220
差は、10031-1220= 8811
　+ を押し忘れたのが、nの後だとすると、n*100 - n ほど差が出てきます。
　n*100 - n = 99n
　同様に、もうひとつの数をmとすると m*100-mの差が出ます。
　99m

また、+を二回押し忘れたのですが、連続した数だと、10000n+100m-n-m=9999n+99(n+1)= 10098n+99 > 10031 なので連続した２数でないことは明白なので、

すなわち、
99n + 99m = 8811
99(n+m) = 8811
　 n + m = 89
かつ、m≠n+1

　４９から１１の間で、足すと８９になるのは
49+40
48+41
47+42
46+43

の組み合わせしかない。

お礼

♪感謝☆(人゜∀゜*)☆感謝♪
すばらしいです！
分かりやすく、丁寧に解説いただき、心から感謝いたします。

回答No.1

naniwacchi

まずは、1回「＋」を押し忘れたときを考えてみましょう。

たとえば「20」の後に押す忘れたとすると、
正しいときは、・・・＋20＋21＋・・・ですが、
間違ったときは、・・・＋2021＋・・・になります。
もう少し書き換えると、・・・＋20×100＋21＋・・・となります。
（2ケタの数字なので、位が 2つ上がってしまいます。）

正しいときと見比べると、「20」が「20×100」に変わってしまいます。
「20」がなくなって「20×100」になるので、
全体では「20×99」だけ余計に増えることになります。

いまは、このような数字が 2つあるということなので、
その 2つを●と▲とします。
すると、全体は「●×99」＋「▲×99」だけ増えるので、

1220＋●×99＋▲×99＝ 10031

これを計算すると、●＋▲＝ 89ということがわかります。

あとは、このような 2つの数字を探します。
▲の方が●よりも大きいとして、探していくと、

▲が 50のとき、●は 39になります。
▲が 49のとき、●は 38になります。
・・・
▲が 46のとき、●は 43になります。
▲が 45のとき、●は 44になります。
（これより先は、●の方が▲より大きくなるので、ここでおしまいです）

最後にポイントがあります。
一番最後の「▲が 45のとき、●は 44」を考えてみると、
「44」と「45」の後に「＋」を忘れたことになるので、
・・・＋444546＋・・・
となります。
でも、これではたし算の答えが 10031よりも大きくなってしまいます。
ですから、この「▲が 45のとき、●は 44」は答えにはなりません。

ということで、答えは次の 5つになります。
「39と50」「40と49」「41と48」「42と47」「43と46」

お礼

なるほど！(人'▽｀)ありがとう☆
すごく分かりやすいです。
ネットのすばらしさを改めて実感します。
見知らぬ私に、こんなにもすばらしいアドバイス感謝します。