中学受験 場合の数

質問

《問題》
１から５９９９までの整数のうち数字の４を全く使わない整数は何個ありますか。
《答え》3644個

この問題のわかり易い解説をお願いいたします���m(_ _)m

回答No.4

noname#222520 · ベストアンサー

1から5999までの整数のうち、とりあえず数字の4を使う整数を考えます。

まず、4000～4999までの1000個

次に、千の位の数字は、0～5のうち4を除いた5種類として、百の位、十の位、一の位の3箇所のうち4が何箇所に入るかで場合分けをします。
ただし、千の位の数字が0の場合は3桁の整数、千の位と百の位の数字が0の場合は2桁の整数、千の位と百の位と十の位の数字が0の場合は1桁の整数であるとします。

・4が1箇所に入る場合
それぞれの位に入る3通りの入り方があり、
他の位2箇所には、0～9のうち4を除いた9種類が入るので、
この場合には、3*9*9=243個

・4が2箇所に入る場合
百の位と十の位、百の位と一の位、十の位と一の位の3通りの入り方があり、
残りの位1箇所には、0～9のうち4を除いた9種類が入るので、
この場合には、3*9=27個

・4が3箇所に入る場合
この場合には、444の1個

よって、これらの合計は千の位の数字を考えて、(243+27+1)*5=1355個
そして、数字の4を使う整数の合計は、1000+1355=2355個

以上から、数字の4を全く使わない整数は、5999-2355=3644個

お礼

ありがとうございます！とても参考になりました！

回答No.3

staratras

例えば4000から4999までの1000個の数は、千の位に4を使っているので、百の位以下は考える必要なくこれを除くことができます。このように上の桁から数えた方がわかり易いでしょう。以下取り除く数を考えます。

１、千の位が4の4000から4999までの1000個

２、百の位が4の400から499、1400から1499、2400から2499、3400から3499、5400から5999までの500個

３、十の位が4の40から49、140から149、240から249、340から349、540から549、640から649、740から749、840から849、940から949がそれぞれそのまま(999以下）、1000+、2000+、3000+、5000+あるから、90×5=450個

４、一の位が、4で上記１、２、３以外の4、14、24、34、54、64、74、84、94がそれぞれそのまま、100+、200+、300+、500+、600+、700+、800+、900+だけあるから9×9=81個
これがさらにそのまま(999以下)、1000+、2000+、3000+、5000+だけあるから81×5=405個

1から4まですべて加えると、1000+500+450+405=2355個

1から5999までの整数は5999個あるから、求める整数の個数は5999-2355=3644(個)

お礼

ありがとうございます！とても良くわかりました！

回答No.2

panacon

先頭が0にならないことに注意し、4桁、3桁、2桁、1桁の場合の数の合計をすると答えがでます。
4桁の場合、千の位は（1,2,3,5）の4個、百の位は（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個、十の位は（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個、一の位も（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個なので、この組み合わせは、4×9×9×9＝2916個。
3桁の場合、百の位は（1,2,3,5,6,7,8,9）の8個（先頭が0は駄目）、十の位は（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個、一の位も（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個なので、この組み合わせは、8×9×9＝648個。
2桁の場合、十の位は（1,2,3,5,6,7,8,9）の8個、一の位は（0,1,2,3,5,6,7,8,9）の9個なので、この組み合わせは、8×9＝72個。
1桁の場合、一の位は（1,2,3,5,6,7,8,9）の8個。
これを全部足すと、2916+648+72+8＝3644　となります。

お礼

ありがとうございます！とても良くわかりました！

回答No.1

shintaro-2

中学受験ということは小学生が考えるということ？

４を使う数字は大きい方から
Ａ．１０００の位が４　つまり4000~4999まで　1000個
Ｂ．100の位が４　400~499、1400~1499、2400~2499、3400~3499、5400-5499で
1000毎に100個　合計500個あります。
Ｃ．１０の位が４　40-49,140-149,240-249,340-349,540-549,640-649,740-749,840-849,940-949で1,000毎に90個、更に4000-4999は数えないので合計90*5個あります。
Ｄ．１の位が４ 　4,14,24,34,54,64,74,84,94で100毎に9個　400-499は数えないので
　1000までに、1*4,2*4,3*4,5*4,6*4,7*4,8*4,9*4が追加されるので、9*9の81個
　これを1000、2000、3000、5000と数えるので、+81*4で合計81*5個
の４パターンです。
5999-1000（Aの場合）-500（Bの場合）-450（Cの場合）-81*5（Dの場合）
=3644となります。

大人向けの解説は
Ａ．最初の数が0,1,2,3,5の5種類
Ｂ．後の３桁が0-9の順列なので9P3=9*9*9=729通り
729*5=3645で　Ｂで000を数えているのでそれを引いて
3645-1＝3644

お礼

ありがとうございます！とても良く分かりました！