水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)

質問

水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)で、n：粗度係数を一定とした場合、
流速Vが最大となる水深比は、円形管きょで約81％、正方形きょで約94％になると思います。
これを式によって証明したいと思いますが、お分かりになる方がいましたら、教えてください。
この本に載っているとかこのホームページに詳しく書いてある等の情報などでも結構です。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#221368

Ｖ=1/ｎ×Ｒ^(2/3)×Ｉ^(1/2)において、粗度係数ｎと勾配Ｉは一定とします。これに径深Ｒ＝Ａ/Ｐを持ち込むと、

　　Ｖ=1/ｎ×(Ａ/Ｐ)^(2/3)×Ｉ^(1/2)

となるので、径深Ａ/Ｐの最大値を求めれば、ＯＫです。ここからすぐわかる事は、径深は潤辺と流量断面積の比なので、流速Ｖは、開水路（管渠は開水路でしたね）の断面形状と水深だけで決まる、という事です。
　そこで添付画像に示したような図を書いて、諦めずに計算すれば、最後には、

　　r(β)＝2(Ｐ/Ａ)＝a－sinβ/β
　　　※　aは、円形管渠の内径
　　　※　－π/2＜θ＜π/2
　　　※　β＝π＋2θ
　　　※　0＜β＜2π

が得られますので、後は、ふつうの微積の範囲で対処できます。ただし極大点のβを見つけるには、

　　β＝tanβ

のような式を解く必要に迫られると思います。Excelでグラフを書いた方が、早いです。正方形管渠の場合は、もっと簡単と思います。

　要は、径深は断面形状と水深だけで決まるので、断面形状が決まればＡもＰも水深の関数だという、ただそれだけです。

　本ですが、

　　水理学１と2，椿東一郎，森北出版 (1995/06)

をお奨めします。この本は、理論面も実用面もバランスの取れた、非常な良書と思います。ただし絶版なので、Amazonか図書館で探してみて下さい。粗度係数や空力の抵抗係数の、詳しい表まで載ってるものなんて、ほぼこの本くらいしか知りません。
　別冊の演習書も付いてます。この問題などは、演習書には載ってる気がします。

回答No.1

noname#221368

土木が専門ですが、水理の設計（樋門の設計とか）を専門にやっていなかったので、マニングの式なんて久しぶりに見ました。

　ｎ，Ｒ，Ｉと管路（管渠）について、もう少し説明された方が、回答がつきやすいと思います（自分も忘れました）。だいたい粗度係数なんて、土木以外ではまず出てこないと思います。

補足

式の補足をさせていただきます。
R：径深(=A/P)
A：流水の断面積
P：流水の潤辺長
Ｉ：勾配
よろしくお願いします。