なぜホースの口を絞ると水の勢いが増すの？

質問

ホースの口を絞ると何故水の勢いが増すのか力学的に証明せよ
という上司の質問に対し、回答することができませんでした。
大きい水槽の水深10m位置にホースを付け
そのホ－スの口を絞るという状況です
上司の出した回答は以下の通りなのですが、なんだか納得いきません
でてきた答えはなんとなくそれらしい流速になっているのですが．．．
どこがどう違うのか、もしくはもっと分かりやすい方法を教えて下さい。
どうかお願いします。
Ｖ＝√{2ｇ(Ｈ-hf)}　－－－(1)式
ｈf＝10.294×n^2×Ｄ^(-16/3)×Ｑ^2×Ｌ　－－－(2)式
　ここに、Ｖ：流速(m/s)
　　　　　ｇ：重力加速度(m/s2)
　　　　　Ｈ：水頭(m)
　　　　　hf：摩擦損失水頭(m)
　　　　　ｎ：manningの粗度係数
　　　　　Ｄ：管径(m)
　　　　　Ｑ：流量(m3/s)
　　　　　Ｌ：管長(m)
(2)式中でＱ＝ＡＶ＝π/4×Ｄ^2×Ｖ、
絞り率をＫとすると
ｈf＝10.294×n^2×Ｄ^(-16/3)×(π/4×Ｄ^2×Ｋ×Ｖ)^2×Ｌ　－－－(3)式
この(3)式に(1)式を代入すると
ｈf＝10.294×n^2×Ｄ^(-16/3)×(π/4×Ｄ^2)^2×Ｋ^2×Ｌ×(２ｇＨ－２ｇhf)
ここに、ｎ＝0.015、Ｄ＝0.02m、Ｌ＝5m、Ｈ＝10mを入れると
＝1.318Ｋ^2×(196－19.6hf)
＝258.33Ｋ^2－25.83Ｋ^2×hf
∴ (1＋25.83Ｋ^2)hf＝258.33Ｋ^2
hf＝258.33Ｋ^2÷(1＋25.83Ｋ^2)
(1)式より
ホースの口が全開の時、
Ｖ＝√{2×9.8×(10－hf)}
＝√{2×9.8×(10－9.628)}＝2.70 m/s
ホースの口が半開の時、(Ｋ＝0.5)
Ｖ＝√{2×9.8×(10－8.660)}＝5.12 m/s

回答No.2

dyadics13

＞『ホースの口を絞ることで流量は一定でない』

実在流体の粘性等の影響によって、
開口部が絞られることで流量が減少することは
定性的に想像できます。

＞ホースの口を絞ることで摩擦損失が減少する

(3)式だけではそのような傾向はわからないです。
連続の式が完全に成り立つならば、(3)式ではK=0以外は
hfの値が同じになってしまいます。
結局(1)式と連立させることで意味が出てくるようです。
これによってVの値が連続の式で予想されるよりも小さくなり、
結果、hfの値が小さくなるものと考えられます。

このような傾向となるように(3)式は（Manningによって？）
実験結果などから組み上げられたのでしょう。

経験則を利用して懸案の事象を示すのならば、
上司さんの例解は適切かもしれませんが、
「力学的」というのならば、確かに解せませんね。

補足

ご回答ありがとうございます。
(2)式は
損失係数ｆ＝8ｇｎ^2/(Ｄ/4)^1/3
摩擦損失水頭ｈf＝ｆ×Ｌ/Ｄ×Ｖ^2/2ｇ
Ｑ＝ＡＶから式を変形して
ｈf＝10.294×n^2×Ｄ^(-16/3)×Ｑ^2×Ｌ
となっているようなのですが、
ここに流量がホースの口を絞ることにより変化するから
絞り率Ｋを考えた。
というだけで経験式でも実験式でもないそうです。
やはり解せません。

回答No.1

dyadics13

＞ホースの口を絞ると何故水の勢いが増すのか力学的に証明せよ

普通に考えれば、連続の式を示して流出部の流速がその断面積に
反比例することで証明としますよね。

ご提示された回答例は「力学的」というよりも、
経験式（水理学でしょうか？）の適用例のような気がします。

数式的に証明するならば、(1)式に(3)式を代入してhfを消去し
速度Vを流出部面積（またはK）の関数にして示せばいかがでしょう？

補足

ご助言ありがとうございます。
私も始めはＱ＝ＡＶでＱは一定としＡに反比例することで
流速が上がると考えたのですが、
『ホースの口を絞ることで流量は一定でない』
と言われました。
ホースの口を絞ることで摩擦損失が減少することも
どうもしっくりこないのです。
流量が減って、管内の流速が減るから摩擦損失も減ると言うことでしょうか？
絞り率なるものも疑問です。

追記、確かに「力学的」ではないですね。水理学です。