内積

質問

三角形ABCにおいて
↑CA=↑a、↑CB=↑ｂとする
l↑al=1、l↑bl=2（←絶対値です）↑a・↑b=１/2とするとき
（１）線分ABの長さを求めよ
（２）点Iを三角形ABCの内心とするとき↑BIを↑aと↑bであらわせ（３）三角形ABCの内接円の半径を求めよ

（１）AB=２
（２）↑BI＝２(↑a-2↑b）/5
（３）√１５/10
だそうです。
全くわかりませんでした・・
解説をお願いします。

回答No.1

naniwacchi

センター試験の問題であれば、(1)→(3)→(2)の順番で解いていくのが効率がいいかもしれませんね。

(1) ↑AB= ↑b- ↑aですので、辺ABの長さ |↑AB|について
|↑AB|^2
= |↑b- ↑a|^2
= |↑b|^2- 2* ↑b・↑a+ |↑a|^2

あとは、条件を代入して最後は 2乗をはずします。

(3) 内接円の半径を rとすると
（三角形の面積）= r* (a+ b+ c)/2

が成立します。
これは、半径がそれぞれの辺に垂直になっているので、
内心によって分割された 3つの三角形の面積の和として
全体の面積が与えられることを示しています。

三角形の面積は、1/2* |↑a|* |↑b|* sinθから求まります。
sinθですが、内積から cosθが求められるので、そこから導出します。

(2) 内心は「それぞれの角の二等分線の交点」として求められます。
よって、直線CIは角Cの二等分線になっています。
この二等分線は、辺ABを 1：2の比に内分します。（二等分線の性質）
よって、↑CIは
↑CI= s* (2* ↑a+ ↑b)/3（sは実数）

と表されます。

同様にして、角A（または角B）の二等分線を考えることで、
↑CI= ↑CA+ ↑AI

の↑AIを ↑a, ↑bで表すことができます。
そのとき、また別の実数：tを用います。
同じベクトルを 2とおりで表しているので、
係数比較をすれば s、tが求まります。

いまの問題では、もう少し効率のいい方法があります。
(1)の結果から、この三角形は二等辺三角形であることがわかります。（頂角は B）
ということは、直線BIは辺CAに垂直になります。
よって、↑BI・↑a= 0となります。
↑BI= ↑BC+ ↑CI= ↑CI- ↑bを代入していくことで計算も楽になります。

お礼

わかりやすい
解説ありがとうございました!!!!