お願いします。

質問

数列の問題です。
　等差数列・等比数列の一般項と総和の出し方は習ったのでそれを使って出したいです。

・１／１３，２／１４，３／１５、４／１６，・・・・と分数を並べると、３／４と等しい分数は　？　番目です。

・１，３，３，３，５，５，５，５，５，７，７，７，７，７，７，７，・・・・の数列で１００番目までの数の和は　？　です。

・１＋３＝２×２，１＋３＋５＝３×３，・・・・を利用して１から１９９までの奇数を加えると　　？　になります。

・1 l 2 3 l 4 5 6 l 7 l 8 9 l 10 11 12 l 13 l・・と順に区切るとき、１つの区切りの数の和が３０５になるのは、　？　番目の区切りです。

・１＋３＋５＋・・・＋　？　＝１２１

どうやったらいいか教えてください！！！！お願いします。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

mikan5さん、おはようございます。
２番目の問題で、式変形の途中で符号がマイナスになっているところが一箇所ありました。

＞また、第９群ラストまでの総和は、
Σ[k=1to9](2k-1)^2=4Σ[k=1to9]k^2-4Σ[k=1to9]k-Σ[k=1to9]1
=4*9*10*19/6-2*9*10/2-9
=951

ここの部分なんですが、（Σの範囲は、１から９までです）
Σ(2k-1)^2=4Σk^2-4Σk+Σ1
　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　ここがプラスにならないといけないですね。ごめんなさい。

計算は、4*9*10*19/6-2*9*10/2+9
=969

よって、969+19*19=1330・・・（答え）になります。

また、第１００項は、第１９群の１９項目（つまりラスト）になっているので、
一度に
Σ[k=1to10](2k-1)^2
=4Σ[k=1to10]k^2-4Σ[k=1to10]k+Σ[k=1to10]1
=4*10*11*21/6-4*10*11/2+10
=1330
とやって計算してもいいですね。

つまらない計算ミスで混乱させてしまいました。すみません。

お礼

こんばんわ。
訂正してくれてありがとうございます。
いつも助けてくれてありがとうございます。

回答No.4

noname#6138

２番目の問題です。

1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, .....の数列の１００番目は何か、をまず考えます。
１が１個、３が３個、５が５個、、、、と並んでいるのでその個数を数えることになります。
つまり、１＋３＋５＋・・・を計算するといつ１００を越えるかを考えることになります。
この、個数の計算は、等差数列の和になりますので、計算できますね。
ｎ番目の奇数（数値としては 2n-1）までの総和はｎの２乗になります。
すると、ｎが１０（数値としては１９）でちょうど１００になることがわかります。
（つまり、１＋３＋５＋・・・・＋１７＋１９＝１００）

問題に戻ると、1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5,,,,,の最後は、19が19個並んでいるわけです。
これの総和を求めるのは、１が１個＋３が３個＋５が５個＋・・・＋１９が１９個
の総和を求めることになるので、式としては、
1^2 + 3^2 + 5^2 + ・・・・+ 19^2
を求めるのですが、これは、等差数列の和や等比数列の和ではもとめられません。
たかだか１０個の２乗の計算をして足すだけなので、力ずくで計算してもよいと思います。

等差数列の和を使って求めようとするなら、この数列を、ピラミッド型に並べてみてはどうでしょうか。
１
３　３　３
５　５　５　５　５
７　７　７　７　７　７
・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・
19 19 ・・・・・・・・・・・・・・・・・１９

これの縦の列でみると、一番左側は 1+3+5+・・・・・+19 で、さっきもでてきたように 100。
左から２番目の縦の列は、３から１９までの奇数の和（これも等差数列の和）
左から３番目もおなじ。
４番目と５番目は５から１９までの奇数の和。
というように、２列づつ、等差数列の和で計算できます。１９個の和を足せば、全部の和が
求まります。

こうして求めると、総和は 1330 となります。
（fushigichan さんの答えと違う値になってしまいました。
　この計算方法はまちがっているのかな？）

お礼

丁寧な説明わかりました。
ありがとうございました。

回答No.3

eliteyoshi

・１＋３＋５＋・・・＋　？　＝１２１

{a_n}=1,3,5,…,n
とすると、

a_n=2n-1

よって、
1+3+5+…+n=Σ{n,k=1}(2k-1)
=2・Σ{n,k=1}(K)-Σ{n,k=1}(1)
=2・Σ{n,k=1}(K)-n
=2・(1/2)n(n+1)-n
=n^2+n-n
=n^2
これが121と等しいから、
n^2=121
n=±11

n≧1より、
n=11

a_11=2・11-1=21
よって答えは、
「21」
です。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

fushigichan

mikan5さん、こんばんは。
これは難しいですね～。

＞・１／１３，２／１４，３／１５、４／１６，・・・・と分数を並べると、３／４と等しい分数は　？　番目です。

これは、分母は１３から始まる公差１の等差数列。分子は１から始まる公差１の等差数列
一般項はn/(n+12)と書けます。
これが3/4に等しいので
n/(n+12)=3/4とおくと、4n=3n+36,n=36となるので
求める分数は、36/48（約分すれば、確かに3/4である）

＞・１，３，３，３，５，５，５，５，５，７，７，７，７，７，７，７，・・・・の数列で１００番目までの数の和は　？　です。

これが難しかったです。
第n群は、(2n-1)で表される、(2n-1)個の奇数になっています。
その第n群の総和は、(2n-1)*(2n-1)=(2n-1)^2

さて、最初から１００番目が第n群に入っているとすると、
（第(n-1)群までの個数）＜１００≦第n群までの個数

さて、第k群の個数は、(2k-1)個であるから、
第(n-1)群ラストまでの個数の総計は
Σ[k=1ton-1](2k-1)=2(n-1)n/2-(n-1)=(n-1)^2

したがって、(n-1)^2<100≦n^2
n=10
第１００項は、第１０群に入っていることが分かる。

第９群の数字は、2*9-1=17なので第９群ラストまでの
項数は、
1+3+5+・・・+17=9(1+17)/2=81 ８１項ある。

したがって、１００番目は、第１０群の１９項目である。

また、第９群ラストまでの総和は、
Σ[k=1to9](2k-1)^2=4Σ[k=1to9]k^2-4Σ[k=1to9]k-Σ[k=1to9]1
=4*9*10*19/6-2*9*10/2-9
=951

また第１０群の最初の１９項の和は
１９×１９＝３６１

よって、最初から第１００項までの総和は
９５１＋３６１＝１３１２

＞・１＋３＝２×２，１＋３＋５＝３×３，・・・・を利用して１から１９９までの奇数を加えると　　？　になります。

これは、真ん中の数字（偶数）の２乗になっていることに注目。
1+3+5+・・・+199=100*100=10000
　　　　↑
この真ん中の数字は、(1+199)÷2=100

＞・1 l 2 3 l 4 5 6 l 7 l 8 9 l 10 11 12 l 13 l・・と順に区切るとき、１つの区切りの数の和が３０５になるのは、　？　番目の区切りです。

１個、２個、３個で１グループとすると最初から６個ずつの数字のグループと考えられる。

第nグループは、それぞれ

6n-5|6n-4,6n-3|6n-2,6n-1,6n|
のように表されて、区切られている。

6n-5=305とすると、n=310/6これは整数でないので、不適。

6n-4+6n-3=305とすると、12n=312,n=26
26番目のグループに属している。
最初から数えると、25×３＋２＝７７番目の区切りである。

6n-2+6n-1+6n=305とすると、18n=308,nは整数ではないので不適

＞・１＋３＋５＋・・・＋　？　＝１２１

初項１、公差２の等差数列の和は
Sn=(a1+al)n/2=n{2a+(n-1)d}/2
これに当てはめると、a=1,d=2だから
Sn=n^2=121
n=11
よって、ラストの奇数は、2n-1のn=11を代入すると２１となる。

補足

こんばんわ。１番目の問題わかりました！ありがとうございました。２番目の問題なのですが、Σを使わずに解く方法はないのでしょうか？Σの使い方がわかりません・・

回答No.1

eatern27

・3/4と等しい分数
ｎ番目の分数はｎ／(ｎ+12)です。これが3/4と等しいのです。

・100番目までの和。
与数列は１が1個、３が3個、5が5個、7が7個・・・という風に続いた数列。
100番目の数を求めて、その数が100番目までにいくつあるのかも求めます。
求める和は
1*1＋3*3+5*5+・・・・

・１から１９９の奇数
奇数を１つ加えると１＝1×１
奇数を２つ加えると１＋３＝２×２
３つでは１＋３＋５＝３×３
４つでは１＋３＋５＋７＝４×４
ｎ個ではどうなるでしょうか?

・区切りの数が305となるのは？
連続2整数で和が305となるのは、152,153
連続3整数で和が305となるものは存在しない。
152を6で割ると2余るので、
152,153で１つの区切りとなります。
152,153が何番目かを数えましょう。
あとは、305のみで１つの区切りとなっているかも調べましょう。

・1＋・・・＝121
Σ[1 to ｎ](2k-1)=121
となるｎを探してください。

お礼

ありがとうございました！わかりました。