部分分数分解についての質問です

質問

1/x^2+4x+5を部分分数分解したらどうなるか教えてください．
よろしくお願いします．

回答No.5

noname#101087

>1/x^2+4x+5を部分分数分解したらどうなるか .....

どうやら、1/(x^2+4x+5) の部分分数分解ですね。

・実係数の範囲でというのなら、これ以上の分解は不可能。
　∵　x^2+4x+5　のゼロ点は実数じゃない。

・複素数(非実)係数の範囲でというのなら、x^2+4x+5　のゼロ点を xo 、xo の共役値をxo~ として、
　　1/(x^2+4x+5) = 1/{(x-xo)(x-xo~)} = a/(x-xo) + a~/(x-xo~)　　…(1)
　と分解できる。

　その一法…。(実は、mrabbit さんのコピー)
　(1) の両辺に (x-xo) を乗じ、x = xo を代入すると、
　　1/(xo-xo~) = 1/(2Io) = a 　　：Io は xo の虚部

------------------------------------------
　[注記] a~ は a の共役値、つまり -1/(2Io)

回答No.4

mrabbit

ANo.3のmrabbitです。

すみません、少し訂正します。
「分母が２次多項式であれば例外なく」と書きましたが、
さらに「分子が定数であれば」という条件付きでした。

分母にも変数が入ってくる場合には、また異なる解法が必要です。

回答No.3

mrabbit

iを虚数単位として、
1/(x^2+4x+5)
= 1/{(x+2-i)(x+2+i)}
= {(x+2+i)-(x+2-i)}{1/(2i)}/{(x+2-i)(x+2+i)}
={1/(2i)}[1/(x+2-i)-1/(x+2+i)}
となります。

特に分母が２次多項式で与えられているとき、次の手続きで例外なく
分解されますので、それを覚えてしまうのが良いと思います。
* 分母を因数分解する
* 分子を分母の因数の差にし、残る定数を割って辻褄を合わせる

回答No.2

himajin100000

ごめん、#1無視して。

因数分解が完全に間違っている。
本当に
x^2 + 4 * x + 5
であってる？

x^2 - 4 * x - 5
とかじゃない？
その場合
(x - 5)( x + 1)で分解していくことになる

回答No.1

himajin100000

お願い:
1行で書く時は
1/x^2+4*x+5
って書かないで。
(1/x^2)+4*x+5
という風に読んじゃうから。

1/(x^2+4*x+5)
こう書いて。慎重になるくらいで十分
1/(x^2 +4*x+5)

#掛け算記号を書いているのはプログラミング経験者としての俺の好み。
==========================================
実数a,bを用いて
1/(x^2 + 4 * x + 5) = 1 /((x + 1) * (x + 5)) = (a / (x + 1)) + (b / (x + 5))
と置く。

(a / (x + 1)) + (b / (x + 5))
= (a * ( x + 5)) / ((x + 1) * ( x + 5)) + (b * ( x + 1))/ ((x + 5) * ( x + 1))
= (a * ( x + 5) + b * ( x + 1)) / ((x + 1) * ( x + 5))
= ((a + b) * x + (5 * a + b)) / ((x + 1) * ( x + 5))
= 1 / ((x + 1) * ( x + 5))

よって
(a + b) * x + (5 * a + b) = 1
だから
a + b = 0
5 * a + b = 1
連立方程式を解いて

4 * a = 1
よって
a = 1/4
b = -1/4

つまり

(1/4) / ( x + 1) + (-1/4) / ( x + 5)

これを整形して
(1/4) / ( x + 1) + (-1/4) / ( x + 5)
= 1 / (4 * ( x + 1)) - 1 / (4 * ( x + 5))
= 1 / (4 * x + 4) - 1 / (4 * x + 20)