部分分数分解

質問

∮1/x^2(x-1)dxを部分分数分解すると∮(-1/x-1/x^2+1/x-1)dxとなるのですが、学校で習っていなく解説書にもヒントが書いてありませんでしたので質問しました。理由を教えてくださいお願いします。

回答No.3

englishquestion

こういう方法もあります。

1/x^2(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
と置きます。
分母にx^2がある場合には、このように、xが分母の項とx^2が分母の項に分けます。

aは後で求めます。

まずbからです。
1/x^2(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)に
x^2（←bが使われているb/x^2の分母）をかけると、
1/(x-1) = ax + b + cx^2/(x-1)
となります。
この式の両辺に、x=0 を入れると、右辺には、bだけが残ります。
左辺は-1になります。
つまり、b=-1です。

同様に、cは
1/x^2(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
に、x-1をかけて、
1/x^2 = a(x-1)/x + b(x-1)/x^2 + c
となります。
これにx=1を入れると、右辺には、cだけが残ります。
左辺は1になります。
つまり、c=1です。

慣れてくると、右辺を考えなくて済みます。
つまり、
bは、元の式 1/x^2(x-1) のx^2を消して0を入れた値、
cは、元の式 1/x^2(x-1) の(x-1)を消して1を入れた値、
ですから。

問題は、aなのですが、単純には行きません。
1/x^2(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
に対し、xを掛けても、
1/x(x-1) = a + b/x + c/x(x-1)
となるだけで、xに0を入れることができませんから。

この場合、bを求めるときに使った、x^2を掛けた式、
1/(x-1) = ax + b + cx^2/(x-1)
を微分します。
数IIIを習っているならできますよね。
-1/(x-1)^2 = a + c(2x(x-1)-x^2)/(x-1)^2
こうしておいて、x=0を代入します。
a=-1 と求まります。

実際には、cの部分の微分は求めなくてもいいのです。
分子には、必ずxの因数が残るので、x=0を入れれば0になります。
なので、これも左辺だけ、
1/(x-1)を微分したものに0を入れればいいのです。

一般に係数比較するよりは楽に求まります。
微分のところ忘れるので、忘れたら、または、
元の式自体が微分するのが面倒な形のときには、
bとcのようなことろだけこの方法で求めて、
残るaだけを係数比較で求める、なんてこともしてました。

以上ご参考まで。

回答No.2

spring135

1/x^2(x-1)＝-1/x-1/x^2+1/x-1)

この変形の最も不思議なところは1/xが入ってくるところだということに気づいていますか。

1/x^2(x-1)=A/x^2+B/(x-1)

でA,Bを決めようとするとB=0となって？ということになってしまいます。

1/x^2(x-1)=A/x＋B/x^2+C/(x-1)^2

とおいて右辺を通分して

1/x^2(x-1)=[Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}/x^2(x-1)

係数を比較して

B=-1, A=-B=1, C=-A=-1

これより

1/x^2(x-1)＝-1/x-1/x^2+1/x-1)

例えば

1/x^3(x-1)

なら

A/x+B/x^2+c/x^3+D/(x-1)

としてA,B,C,Dを決める必要があります。

回答No.1

gohtraw

１／（ｘ＾２（ｘ－１））＝ｐ／ｘ＾２　＋　ｑ／ｘ＋　ｒ／（ｘ－１）
とおいて右辺を通分してやると
（ｐ（ｘ－１）＋ｑｘ（ｘ－１）＋ｒｘ＾２）／（ｘ＾２（ｘ－１））＝１／（ｘ＾２（ｘ－１））

両辺の分子の係数を比較すると
ｘ＾２を含む項：ｑ＋ｒ＝０
ｘを含む項：ｐ－ｑ＝０
定数項：－ｐ＝１
これよりｐ＝ｑ＝－１、ｒ＝１