微分積分

質問

関数　f(x)=x３乗+ax２乗+３x　が単調に増加するように、定数aの範囲を定めよ

この問題で、
単調に増加するから、f´(x)＞０となり
3x２乗+2ax+3＞０
となるところまでは分かります。

その後条件を考えるのだということは分かるのですが
D＞０で計算すると
a＜-3、3＜a　となり、回答の-3＜a＜3になりません。

正確には＞でなく≧ですが、それはとりあえず置いておいて
回答の不備をご指摘ください。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＃2の回答は厳密には正しくない。

f´(x)=3x＾2+2ax+３≧0であると良いから、
(1)　x＾2の係数＞0、and、(2)　f´(x)=の判別式≦0が条件になる。
ところが、この問題は　x＾2の係数＝3＞0　だから　判別式≦0だけで良いことになる。

逆に、例えば　f´(x)=3ax＾2+2ax+３が単調減少であるなら
(1)　x＾2の係数＜0、and、(2)　f´(x)=の判別式≦0が条件になる。

回答No.2

info22_

f(x)=x^3 +ax^2 +3x　が単調に増加する必要十分条件は
f'(x)=3x^2+2ax+3≧0
です。

f'(x)=3(x^2+(2a/3)x)+3=3((x+(a/3))^2-(a/3)^2)+3
=3(x+(a/3))^2 +3(1-(a/3)^2)≧3(1-(a/3)^2)
なので
f'(x)=3x^2+2ax+3≧0が常に成立する為の必要十分条件は
(1-(a/3)^2)=(3-a)(3+a)/9≧0　∴-3≦a≦3

判別式を使う場合は
3x^2+2ax+3=0
が異なる２実数解を持たない条件,すなわち　重解か2虚数解を持つ条件を求めれば良いから
判別式D/4＝a^2-9＝(a-3)(a+3)≦0 ∴-3≦a≦3
となります。

>D＞０で計算すると
a＜-3、3＜a　となり、回答の-3＜a＜3になりません。

判別式D＞0は異なる2実解を持つ条件ですから、
2実解の間の範囲では
２次の係数3>0なのでf'(x)＜0となって、f(x)は単調減少となります。

判別式D≦0でなくてはいけません。
この時、f'(x)=0は、虚数解を持つか、重解を持つので
f'(x)≧0となりf(x)は単調増加となります。
D≦0から　-3≦a≦3 が出てきます。

>この問題で、
>単調に増加するから、f´(x)＞０となり
f'(x)＞0ならf(x)は増加関数となります。このときは判別式D<0です。
f'(x)≧ならf(x)は単調増加関数となります。このときは判別式D≦0です。

>3x^2 +2ax+3＞０
これは増加関数の条件です。
単調増加関数のときは
f'(x)=3x^2 +2ax+3≧０です。⇒　判別式D≦0 となります。

回答No.1

mmegganne

f´(x)＞０
より、y=f'(x)のグラフは、x軸と交点を持ちません。

なので、D<0です。