回転体の体積を求める問題です

質問

閲覧ありがとうございます。

曲線y = x^2 - 2xと
直線y = xで囲まれた図形を
x軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ

という問題です。

この場合、
V = π∫f(x)^2 dxを使うのはわかります。

しかし、x軸の下の部分、つまりyが負の値の部分を引いたりしなければならないのでしょうか？
(画像あります。見てください。)
また、引かなければならない場合、どのような処理をすれば良いのでしょうか？

説明下手ですみません。
よろしければ回答お願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問の回答

> V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx
> となる理由がわかりません。
転記ミスです。2重に二乗してしまいました。

> V2 = π∫[1,2](x^2) dx
これが正しいです。
訂正願います。

計算は別にやっていますので、Vの方は正しいです。
V1=(8/15)π,V2=(7/3)π,V3=(19/5)π
V=V1+V2+V3=(20/3)π

[別解]
V1は同じ
V2+V3は空洞部分を含めた体積から空洞部を引く計算をしても良いです。
V2+V3=π∫[1,3] (x^2)dx - π∫[2,3] {x(x-2)}^2 dx

お礼

お礼遅くなってすみません。
今回も助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

＃１です。２＜ｘ＜＝３では中空でしたね。失礼しました。

回答No.2

info22

添付した図を見て下さい。
黄色に塗りつぶした領域が回転体の断面になる範囲です。

（１）x=0～1の区間は y=-x(x-2)で積分します。
　　　V1=π∫[0,1] {-x(x-2)}^2 dx
（２）x=1～2の区間は　y=x　で積分します。
　　　V2=π∫[1,2] (x^2)^2 dx
（３）x=2～3の区間は 外側が y=x , 内側が y=x(x-2) の中空の回転体
　　の積分になります。
　　　V3=π∫[2,3] [(x^2)-{x(x-2)}^2] dx

回転体全体の体積Vは上記の（１）,（２）,（３）の部分の体積の和となり
ます。

　V = V1 + V2 + V3

ここまでやれば、後の積分は自力で出来ますね。

やってみて分からなければ、計算過程を補足に書いて、分からない箇所を
質問して下さい。

V=(20/3)πとなればOKです。

補足

いつもありがとうございます。

質問があります。

V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx
となる理由がわかりません。
V2 = π∫[1,2](x^2) dx
だと思ったのですがどうしてこのようになるのでしょうか？

お忙しいとは思いますがよろしくお願いします。
すみません。

回答No.1

gohtraw

負の部分を引くのではありません。｜ｘ＾２－２ｘ｜と｜ｘ｜の大小を比較して、大きい方を回転半径として採用する必要があります。
　両者を比較すると０＜＝ｘ＜＝１の範囲では｜ｘ＾２－２ｘ｜＞＝｜ｘ｜となるのではないかと思います。よってこの範囲ではｆ（ｘ）＝ｘ＾２－２ｘ、１＜ｘ＜＝３ではｆ（ｘ）＝ｘとしてご質問中の積分をすればいいと思います。