回転体の体積の求め方

質問

座標(x,y)＝(0,4)を中心とした半径1.5cmの円があります。x＝1とx＝-1の直線を引いたとき、この2本の直線と円の上部のＲ部分(x=-1から1まで）によって囲まれた部分をx軸で回転させたときの立体の体積の求め方を教えてください。積分を用いた方法で教えていただきたいです。どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

これまでの式を修正箇所を訂正してまとめると
>V=π∫[-1,1] {4+√(2.25-x^2)}^2dx
>=2π∫[0,1] {18.25+8√(2.25-x^2)}d ←[-x^2の項忘れ]
このため計算結果に波及するので以降の計算を以下のように修正します。

V=2π∫[0,1] {18.25-x^2+8√(2.25-x^2)}dx
=2π[18.25x-(1/3)*(x^3)+9*arcsin(2x/3)+4*x*√(2.25-*x^2)][0,1]
=2π{18.25-(1/3)+9*arcsin(2/3)+2√5}
≒2π*28.9563
≒181.938 [cm^3]

積分中の
>9 arcsin(2x/3)部分が導き出された理由がわかりません。
I=∫8√(2.25-x^2)dx
x=1.5sin(t)と変数変換すると dx=1.25cos(t)dt
I=8∫(1.5^2)(cos(t))^2 dt
=9∫（1-cos(2t))dt
=9{t-(1/2)sin(2t)}+C
t=arcsin(x/1.5)を代入して元のxに戻すと
I=9arcsin(x/1.5)-9(x/1.5)√{1-(x/1.5)^2}+C
=9arcsin(2x/3)-9(2x/3)√{1-(2x/3)^2}+C
=9arcsin(2x/3)-4x√{2.25-x^2)+C
となります。

>9*arcsin(2/3)≒6.58となったのですが、
>この計算方法もわかりませんでした。
Google検索で「9*arcsin(2/3)」と入力して[検索ボタンを押せば計算してくれます。
9 * arcsin(2 / 3) = 6.5675489
と結果が表示してくれます。

WindowsXP内臓の関数電卓でも
2/3=[Inv][sin]*9=
で
6.5675489060426972710
と計算してくれます。

お礼

別の質問と同様、本当に助かりました。
ありがとうございます！

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足の回答です。

>V=2π[18.25x + 8x√2.25 - 4x^2 - 1/3x^3][0,1]
↑間違いです。
なので↓も間違っています。
>=2π(18.25 + 8√2.25 - 4 - 1/3)
>=162.75・・・cm^3

V=2π[18.25x + 4x√(2.25 - x^2) - 9 arcsin(2x/3)][0,1]
=2π*{18.25+(2√5)+9arcsin(2/3)}
≒184.03 [cm^3]

補足

すみません、ありがとうございます。

申し訳ないですが、
V=π∫[-1,1]{4 + √(2.25-x^2)}^2dx
V=2π∫[0,1]{18.25 + 8√(2.25 - x^2) - x^2}dx を
積分すると、
V=2π[18.25x + 4x√(2.25 - x^2) - 9 arcsin(2x/3)][0,1]
になるとのことですが、9 arcsin(2x/3)部分が
導き出された理由がわかりません。
参考書で調べてもわかりませんでした。

また、教えていただいた答え（184.03 [cm^3]）から
9arcsin(2/3)≒6.58となったのですが、
この計算方法もわかりませんでした。
お時間がありましたら、教えていただけないでしょうか？

回答No.2

noname#101087

回転体の体積を二重積分によらず求めるには、パップスの重心定理(Pappuss Centroid Theorem)が.....。
　http://mathworld.wolfram.com/PappussCentroidTheorem.html

お礼

面積と回転軸から重心までの距離で求める方法ですね。
資料ありがとうございます！参考にさせていただきます。

回答No.1

info22

全部単位をcmとします。

V=π∫[-1,1] {4+√(2.25-x^2)}^2dx
=2π∫[0,1] {18.25+8√(2.25-x^2)}dx[cm^3]
を求めるだけです。

積分をしてみて下さい。
分からなければやったところまでの自力解答を補足に書いて質問してください。

補足

どうもありがとうございます。
積分から始めます。

V=2π[18.25x + 8x√2.25 - 4x^2 - 1/3x^3][0,1]
=2π(18.25 + 8√2.25 - 4 - 1/3)
=162.75・・・cm^3

でしょうか？積分に自信がありませんので、間違っていたら
お教えください。よろしくお願いします。