回転体の体積

質問

問題.
放物線y=x²ー２ｘと直線ｙ＝１/2xとで囲まれる部分を、この直線を軸として１回転して得られる立体の体積を求めよ。

この問題の回答の中で、
直線ｙ＝１/2ｘ上に点Aをとり、Aからｘ軸に垂直になるようにひいた直線と放物線の交点をBとしたときに、ABの長さがｘ/2－ｘ²となることが、どうしてそうなるのかがわかりません。高校生にでもわかるように、説明をお願いします。

回答No.1

CC_T · ベストアンサー

問の解説がオカシイ。
ABがx/2－ｘ²だとx(1/2-x)だから、放物線と直線がx=1/2で交差してることになってますが、x=1/2のときは第一象限にある直線と第四象限にある放物線が交差できるわけがない。

点Aの座標が(x,1/2x)
天Bの座標が(x,x^2-2x)
ABの長さはA座標からB座標を引いたものだから、
1/2x-(x^2-2x)=-x^2+2x+1/2x
ですね。

検算検算…-x^2+2x+1/2xだと
x=1のとき、-1＋2+1/2＝3/2
AのY座標が1/2でBのY座標が-1だからABの長さは1.5。
x=2のとき、-4＋4+1/4＝1/4
AのY座標が1/4でBのY座標が0だからABの長さは1/4。
うん、OKみたいですね。

蛇足ながら、直線の式はy=(1/2)x、つまりy＝x/2じゃないですか？
それだと-x^2+5x/2で計算が楽なんですが、y=1/(2x)だと積分の段階でまたつまづきそうな…。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
おっしゃってくださるように、y＝x/2です！私の表記ミスで誤解させてしまい、本当に申し訳ありません。
ですが、丁寧に回答してくださりたすかりました。
本当にありがとうございます。

回答No.2

yyssaa

＞点Aが(x,x/2)なら点Bは(x,x^2-2x)だから
AB=x/2-(x^2-2x)=5x/2-x^2であり、ｘ/2－ｘ²
とはならない。

お礼

回答ありがとうございます。