最大値統計量の密度関数？

質問

統計の問題ができずに困っています。

問題
確率変数X1、X2が独立で、同じ密度関数f(x；θ)=3x^2/θ^3をもつとする。ただし、θ＞０で０＜x＜θとする。
このとき、最大値統計量
Y＝max｛X1、X2｝
の確率密度関数を求めよ。

考え方がわからず、確率分布を微分すれば求められるかなと思い、確率分布を出そうとしてみました。が、、、
P（Y＝y）＝P（X１＝y、X２＜＝y）＋P（X１＜y、X２＝y）
　　　　　＝P（X１＝y）P（X２＜＝y）＋P（X１＜y）P（X２＝y）
　　　　　＝…
　　　　　＝６y＾５/θ＾６
と出ましたが、この先どうすればよいのかわからず行き詰まってしまいました。。。

この問題の考え方を教えていただきたいです。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

h(x)=0(x<0) & h(x)=1(0<x)とし
p(x)=f(x；θ)(h(x)-h(x-θ))とし
Yの密度関数をqとすると
q(z)=∬δ(z-max(x,y))p(x)p(y)dxdy
θと書くべき所を1と書いたので修正。

q(z)=∬[x<y]δ(z-y)p(x)p(y)dxdy+∬[y<x]δ(z-x)p(x)p(y)dxdy
q(z)=p(z)(∫[x<z]p(x)dx+∫[y<z]p(y)dy)
q(z)=2p(z)∫[x<z]p(x)dx
よって
z<0のとき
q(z)=0
0<z<θのとき
q(z)=2f(z；θ)∫[0<x<z]f(x；θ)dx
θ<zのとき
q(z)=2p(z)∫[0<x<θ]f(x；θ)dx=0・∫[0<x<θ]f(x；θ)dx=0

お礼

分かりました！
ありがとうございます！

回答No.1

reiman

h(x)=0(x<0) & h(x)=1(0<x)とし
p(x)=f(x；θ)(h(x)-h(x-θ))とし
Yの密度関数をqとすると
q(z)=∬δ(z-max(x,y))p(x)p(y)dxdy
q(z)=∬[x<y]δ(z-y)p(x)p(y)dxdy+∬[y<x]δ(z-x)p(x)p(y)dxdy
q(z)=p(z)(∫[x<z]p(x)dx+∫[y<z]p(y)dy)
q(z)=2p(z)∫[x<z]p(x)dx
よって
z<0のとき
q(z)=0
0<z<1のとき
q(z)=2f(z；θ)∫[0<x<z]f(x；θ)dx
1<zのとき
q(z)=2p(z)∫[0<x<1]f(x；θ)dx=0・∫[0<x<1]f(x；θ)dx=0