行列の問題

質問

曲線C：xy=1　とする。
行列　(a　b)　によりＣ上の点がＣ上に移されれるとする。
　　　(c　d)
このようになるためのa,b,c,dの必要十分条件はなんでしょうか？

回答No.3

info22

#2です。

A#1の
>(ax+by)(cx+dy)=1
を展開した式は
>(ax+by)(cx+dy)=acx^2+bdy^2+ad+bd=1
となりませんね。
正しくは
(ax+by)(cx+dy)=acx^2+bdy^2+(ad+bc)xy ← xyを代入
　=acx^2+bdy^2+ad+bc=1
です。

A#2の補足について
>一番上の式を展開するとX^2、Y^2が出てきますが、XY=1となるように係数比較するとは、どういうことでしょうか？

A#2では「係数比較する」とは書いていませんので回答しようがないですね。
この記述「係数比較する」は質問者さん自身がの書かれたことなので、
その意味する所は質問者自身で考えていただくしかないです。
係数比較しても意味ないですね。

僕の書いた表現を良くお読み下さい。
>(dX-bY)(-cX+aY)/(ad-bc)^2=1
>つまり
>(dX-bY)(-cX+aY)=(ad-bc)^2 …(●)
>(ただし,ad-bc≠0)　…(▼)
>が
>XY=1 …(■)
>となるように係数(a,b,c,d)の条件を求めればいいということですね。

(●)を展開して整理すれば
(dX-bY)(-cX+aY)=(ad-bc)^2
cdX^2+abY^2-(ad+bc)XY+(ad-bc)^2=0
(■)からY=1/Xを上式に代入して
cdX^2+ab/X^2-(ad+bc)+(ad-bc)^2=0
X^2を掛けて
cdX^4+ab+{(ad-bc)^2-(ad+bc)}X^2=0
任意のXについて成立する条件（つまりXの恒等式の条件）を求めると
cd=ab=0 …(1)
(ad-bc)^2=(ad+bc)　…(2)

(1)に(▼)の条件 ad≠bcを考慮すると
a=b=c=dの場合は除かれて
a=d=0(bc≠0) または　b=c=0(ad≠0)
が出てきます。
a=d=0(bc≠0)の時　(2)から bc=1
b=c=0(ad≠0)の時　(2)から ad=1
と出てきます。

a=d=0,bc=1の場合
X=(ax+by)=by
Y=(cx+dy)=cx=x/b
となるので
XY=xy=1
の関係が出てきますので問題の条件を満たしています。

また
b=c=0,ad=1の場合
X=(ax+by)=ax
Y=(cx+dy)=dy=y/a
となるので
XY=xy=1
の関係が出てきますので
この場合も問題の条件を満たしています。

なので必要十分条件は
「a=d=0,bc=1」または「b=c=0,ad=1」…（◎）
になります。

>問題文には行列は逆行列を持つかどうか書いてありませんが、
>逆行列があると仮定してよいのでしょうか？
逆行列の存在条件ad-bc≠0も、a,b,c,dの満たすべき条件に含まれますので解答者に委ねられた条件です。
(◎)の条件導出にも使われています。

逆行列を持たない場合の ad=bcの場合を考えてみると
X=ax+by,Y=cx+dy
XY=acx^2+bdy^2+(ad+bc)xy
XY=1=xy=1を代入すると
acx^2+bd/x^2+2bc=1
ac=0,bd=0,ad=bc=1/2
これを満たすa,b,c,dの組は存在しませんね。
言い換えれば
逆行列が存在しないとxy=1はXY=1に写像できないと言うことです。
なので、逆行列が存在する条件が問題に書かれていなくても、
解答者の方で仮定しても問題ないですね。実際そうしないと
xy=1がXY=1に写像できなくなります。

回答No.2

info22

#1さんの結果の

> a=d=0, dc=1
> または
> b=c=0, ad=1

の1行目は
a=d=0, bc=1
のケアレスミスですね。

改めて書き直すと
「a=d=0, bc=1」 または 「b=c=0, ad=1」　…（◆)
ですね。

なお、本来のやり方は次の通りです（計算は大変）、
M=
(a　b)
(c　d)
とおき、Mの逆行列をM1とおくと
逆行列の存在条件からad-bc≠0
M1={1/(ad-bc)}・
(d　-b)
(-c a)

C上の点(x,y)をMにより移動（写像）した点を点（X,Y)とし、
転置を　( , )t　であらわすと
(X,Y)t=M・(x,y)t
M1・(X,Y)t=M1・M・(x,y)t
=(x,y)t
これで(x,y)を(X,Y)で表した
x=(dX-bY)/(ad-bc)
y=(-cX+aY)/(ad-bc)
(ただし,ad-bc≠0)
xy=1に代入した
(dX-bY)(-cX+aY)/(ad-bc)^2=1
つまり
(dX-bY)(-cX+aY)=(ad-bc)^2
(ただし,ad-bc≠0)
が
XY=1
となるように係数(a,b,c,d)の条件を求めればいいということですね。
結果は (◆)と同じになります。

#1さんのやり方は最初から移動先（写像先）が　XY=1
として係数条件を導出しているのに対して
上のやり方は移動後の（X,Y)は XY=1 を満たすように
係数条件を導出する。
という違いですね。
（結果は同じになりましたが。。。）

補足

>>(dX-bY)(-cX+aY)=(ad-bc)^2
(ただし,ad-bc≠0)
が
XY=1
となるように係数(a,b,c,d)の条件を求めればいいということですね。

一番上の式を展開するとX^2、Y^2が出てきますが、XY=1となるように係数比較するとは、どういうことでしょうか？
あと問題文には行列は逆行列を持つかどうか書いてありませんが、逆行列があると仮定してよいのでしょうか？

回答No.1

nag0720

言い換えれば、
曲線C上の任意の点(x,y)に対し、
(ax+by)(cx+dy)=1
が成り立つための必要十分条件です。

(ax+by)(cx+dy)=acx^2+bdy^2+ad+bd=1
x,yに適当な値を入れて、条件を調べてもいいですが、
1, x^2, y^2=(1/x)^2　が１次独立であることから、
ac=0, bd=0, ad+bc=1
となります。

整理すると、
a=d=0, dc=1
または
b=c=0, ad=1

補足

>>(ax+by)(cx+dy)=acx^2+bdy^2+ad+bd=1
x,yに適当な値を入れて、条件を調べてもいいですが、
1, x^2, y^2=(1/x)^2　が１次独立であることから、

僕も(ax+by)(cx+dy)=acx^2+bdy^2+ad+bd=1は導出しました。
ここでどんなx、yでも成り立つための条件でも成り立つので、係数を0になればいいという考え方ですか？