行列の証明

質問

a，b，c，d，ｒ，ｓは実数とする。
　　　　　　　　　　　　　　a　　b　
２次の正方行列Ａ＝（　　　　　）と２次の単位行列Ｅに対して
　　　　　　　　　　　　　　c　　d
集合Ｌ(Ａ)をＬ(Ａ)＝｛ｓＡ＋ｒＥ｝とするとき
Ｌ(Ａ)の要素Ｂは零行列でなければ逆行列を持つ必要十分条件を求めなさい。

ここで言う集合、要素とはなんなんでしょう？要素Ｂってどれ？
何をすればいいか全くわからないです。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ONEONEさん、こんばんは。＃１fushigichanです。

＞集合Ｌ(Ａ)をＬ(Ａ)＝｛ｓＡ＋ｒＥ｝とするとき
Ｌ(Ａ)の要素Ｂは零行列でなければ

という条件が最初にありますが、要素Ｂが０行列になるのは
s=t=0
のときは、Ａにどんな行列を持ってきても、Ｂは０行列になるので、
s=t=0の場合を、まず排除しなければいけません。

さて、
　　　　　　　　a　b　　　1　0
Ｂ＝sA+tE=s（　　）+t（　　）
　　　　　　　　c　d　　　0　1
　　sa+t　　　sb
＝（　　　　　　　）
　　sc　　　sd+t
より、s=t=0以外の場合で、Ｂが０行列になるのは、

sa+t=0
sb=0
sc=0
sd+t=0
ですが、s≠0なので、b=c=0
また、(sa+t)-(sd+t)=s(a-d)=0
ですが、s≠0であったため、a-d=0,a=d
まとめて、a=d,b=c=0
このとき、
B=(sa+t)E
となるので、sa+t≠0であれば、逆行列を持ちますね。
つまり、そういうs,tを選べばよいです。
（Ｂは単位行列の実数倍の行列になっている）

次に、
|B|=(sa+t)(sd+t)-sb*sc
=t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)≠0

から、これをtについての２次式だと考えると、
判別式をとってみましょう。

（判別式）={s(a+d)}^2-4s^2(ad-bc)
=s^2{(a+d)^2-4(ad-bc)}

|B|≠0ということは、t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)=0
が実数解tを持たないということなので、
判別式は<0である。
s^2>0ですから、
(a+d)^2-4(ad-bc)<0
という条件が出てきます。

以上のことをまとめればいいと思います。
頑張ってください。

お礼

なるほど。
聞いてみるとそれほど難しくは・・・っていつものパターン。
どうもありがとうございました。

回答No.2

grothendieck

fushigichanさんの解答の続きです。
(1)a=dかつ、b=c=0のとき
　sA+rEは単位行列に比例するから零行列でなければ逆をもつ。
(2)a≠dまたはb≠0またはc≠0のとき
　　sA+rE = O
　となるのはs=r=0のときだけである。したがって
　　r^2 + (a+d)rs + (ad-bc)s^2 ≠0
　がs=r=0以外の任意のs,rについて成り立つ条件を求めると
　　(a+d)^2 - 4(ad-bc) = (a-d)^2 + 4bc < 0
であるから、 a=dかつ、b=c=0のときまたは(a-d)^2 + 4bc < 0のときBは逆行列を持つ。

お礼

なるほど。ありがとうございました。

回答No.1

fushigichan

ONEONEさん、こんにちは。
　　　　　　　　　　　　a　b
２次の正方行列Ａ＝（　　）
　　　　　　　　　　　　c　d
に対して、
集合L(A)を、
L(A)={sA+tE}
としたときに、集合L(A)の要素Ｂとは？ということですね。

まず、この集合は、行列の集まりです。
A,Eが行列、s,tは実数ですから
sA+tE
という形で表せる行列全体の集まり、ということです。
その中の要素である行列Ｂは２次の正方行列で
B=sA+tE
の形で表せています。

実際計算すると、
　　　　　　　　a　b　　　1　0
Ｂ＝sA+tE=s（　　）+t（　　）
　　　　　　　　c　d　　　0　1
　　sa+t　　　sb
＝（　　　　　　　）
　　sc　　　sd+t

のようにかけますね。
この行列Ｂが逆行列を持つ必要十分条件とは、
|B|≠0ですから
|B|=(sa+t)(sd+t)-sb*sc
=t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)≠0

ということではないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。

補足

ありがとうございます。
なるほど要素Ｂ行列のことはわかりました。

しかし答えが「（a=dかつb=c=0）または(a-d)^2+4bc＜0」
と出ています。
右のは判別式？と推測されますが・・・