等分布荷重を受ける両端固定梁について

質問

前回質問No.5438093で「薄いアルミ板の応力」という題で質問させていただきました。
その結果、数値計算から、たわみｗが梁の高さｈを超えたら、非線形を考えなければならなくなって、梁の公式が適用できないということがわかりました。
梁の高さｈが、梁の長さよりも極端に小さい場合には、非線形になりやすくなるということもわかりました。
また、両端固定梁が曲げを受けると、材料力学の公式では軸力は計算されて来ないけれども、実際には軸力が発生して、それは曲げの荷重に対して非線形だということもわかりました。

そこで質問なんですが、等分布荷重（単位長さあたりｆ）を受ける両端固定梁のたわみと軸力と最大曲げモーメントについて、数値計算はできるようになったのですが、数値計算プログラムを使わずに式で計算できる方法があれば教えていただきたいと思います。
大きめに計算する近似式でも結構です。
実際に取り扱いたい形状は、長さ50～300mm、幅20～200mm、厚さ0.2～0.6mmのアルミの長方形板で、４辺が固定されているのですが、長い方の二辺を固定すれば梁とみなすことができると思います。そのうえ、問題は簡単になって、解も大きめに出るので、設計に使えると思います。
ですから、長さに比べて高さが極端に小さい梁の場合だけの解でも結構です。

申し訳ありませんが、私は今週いっぱいここに来ることができないと思います。お礼が遅れますが、よろしくお願い致します。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

この投稿に気づいたのが2週間ほど前で、それから自分の過去の資料をひっくり返して、やっとご要望のものを探しあてました。

あなたの問題は、「変形後の回転と発生軸力とを考慮した梁の微分方程式」から解を導くことができます。
Ｄｄ^4ｗ/ｄｘ^4＝ｆ＋ｈσp･ｄ^2ｗ/ｄｘ^2
元々は平板について導かれた２次元の方程式を、私が１次元化して表記したものです。

最大たわみδが極端に大きくなると、この微分方程式も実現象を現さなくなりますが、梁の高さｈが小さく、δがｈの数倍程度であれば、この式は十分に使えます。
ただし、この式を代表的な境界条件について陽に解いて見せた文献は、私自身は見たことがありません。
ですから、以下の結果も、私自身がコツコツと微分方程式を解いて得た結果です。

以下、等分布荷重を受ける両端固定梁についての結果だけを書きます。

ここで、記号ｆは、あなたの定義された「単位長さあたりの分布荷重」ではなくて、梁の幅で割った「圧力」ですので、十分にご注意ください。単に表示を単純化するためだけの措置です。

ｆ：圧力
Ｌ：梁の長さの1/2
ｂ：梁の幅
ｈ：梁の高さ(厚さ)
σp：軸応力
Ｐ：軸力
Ｍ0：梁中央部での曲げモーメント
ＭL：梁固定端部での曲げモーメント
Ｅ：縦弾性係数
ν：ポアソン比
δ：最大たわみ
Ｄ＝Ｅｈ^3/12/(1-ν^2)
λ＝√(ｈσp/Ｄ)

σp≒{(Ｌｆ/ｈ)^2･Ｅ/6}^(1/3)
Ｐ＝ｂσp
Ｍ0＝{ｂｆＤ/(ｈσp)}×{λＬ/sinh(λＬ)-1}
ＭL＝{ｂｆＤ/(ｈσp)}×{λＬ/coth(λＬ)-1}
δ＝Ｌ^3/6×{ｆ/(ｈσp)}^2

モーメントは、ＭLの方が(絶対値が)大きくなります。
幅ｂ<<Ｌのときは、Ｄ＝Ｅｈ^3/12とした方が実現象と合います。

上の一群の式は、最大たわみδ<<ｈの範囲内で、通常の線形の梁の公式が与える解に一致することを確認しましょう。
逆に、δがｈを超えるような条件下では、線形理論の解は、実現象から大きく外れるということも確認しましょう。
基本的に、この式を使えば、あなたの問題は、いちいち非線形FEM解析をしなくても、解を求めることができるはずです。

なお、ANo.1の方の書かれた、
「微小変形理論の範囲」とは「線形理論の範囲」
は、間違いです。
「微小変形理論の範囲」だからといって、「線形理論の範囲」にはなりません。
その逆は真ですが。

今回の問題は、微小変形でも非線形になってしまうという典型例であることは、既に説明した通りです。
たぶん質問者ご自身は、理解していらっしゃると思いますので、問題はないかと思いますが。

お礼

回答をいただいて、さっそく式を使って計算してみました。
これらの式は素晴らしいですね。
ANSYSの非線形計算結果に非常に近い値が出てきます。
ANSYSの計算は、収束条件がよくわからなくて、収束条件設定によって解が揺れるので、ANSYSよりも、これらの式の方が、正確なのではないかと思っています。

h191224様のおっしゃるとおり、これでいちいちANSYSを使わなくても、Excelで答えを求めることができます。

私は、h191224様が別の方のご質問QNo.5538920に回答された厚板にも興味があります。
（実は、ここにh191224様が私宛のメッセージを残して下さったので、近々回答がいただけると信じていました。）
私の問題は薄板、こちらの方の問題は厚板、ということで、両方をつなぐ解に興味がわいてきました。
自分で検討して、またわからないところはお聞きするかも知れませんので、よろしくお願いいたします。

ありがとうございました。
今後とも、ご指導よろしくお願いいたします。
そしてさっそく次の質問をさせていただきます。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#221368

状況をまとめるために、まず、微小変形理論の範囲でお応えします。

　ご存知と思いますが、微小変形理論の範囲とは「線形理論の範囲」です。この範囲で、長さ50～300mmで厚さ0.2～0.6mmならば、十分オイラー梁は成り立つと思えます。ただし幅を考慮しなければ、です。暗黙の条件として梁理論は、幅と深さ（高さ）は余り変わらない、という前提があるからです。幅20～200mmとなると、オイラー梁理論より、キルヒホッフの薄板曲げ理論の方が適当な気もします。

＞梁の高さｈが、梁の長さよりも極端に小さい場合には、非線形になりやすく・・・
　これは当然ですが、

＞材料力学の公式では軸力は計算されて来ないけれども、実際には軸力が発生して・・・
という事は、数値計算で「実際に非線形計算を行って、軸力を得た」という事ですか？。線形計算を行っている限り、数値計算で軸力は出ないはずです。

　このとき問題になるのは、得た軸力が、「考慮に値するものかどうか？」です。その検討は、なさいましたか？。もし非線形計算を行えば、いかに小さかろうと、軸力は数値的には常に現れます。

　さらに、その非線形計算は、有限変形理論に基づくものと想像しますが、軸力が無視できないなら、

　　・数値結果と線形理論の公式を比較して、
　　・この寸法の場合は、線形理論の公式に、これこれの修正を加えれば良さそう・・・。

などとやるのが普通な気がします。でも一般性は欲しいので、いくらか非線形のケースを追加して検証しますが、やり過ぎたら収拾がつかなくなります。十分に数値結果をコントロールできるケースで、それをやります。それは、あなたの腕だと思います。

お礼

コメントをいただいたのを機会に、実験をして測定してみようということになり、いろいろとやってみました。
基本的には、細いテープ状の板を切り出して、中央に集中荷重をかけてみて、たわみ、ひずみ、軸力を測定してみました。
その結果は、梁の公式の解とは合わなくて、ANSYSの非線形解析の結果には、かなり近いものでした。

ここから下は、いただいたコメントへのお返事です。
> 数値計算で「実際に非線形計算を行って、軸力を得た」という事ですか？
そうです。

> 得た軸力が、「考慮に値するものかどうか？」
この軸力によって、無視できない引張応力が発生し、考慮に値するものと判断しています。

> もし非線形計算を行えば、いかに小さかろうと、軸力は数値的には常に現れます。
非常に失礼な言い方になるかも知れませんが、 ddtddtddt様はこのような細い梁の変形や応力について、実際のご体験がないものとお見受けします。
いかに小さかろうと、というレベルの大きさの軸力ではありません。
一度、是非非線形計算をなさってください。

> 線形理論の公式に、これこれの修正を加えれば良さそう
修正程度じゃだめなことを、h191224様が回答で示して下さっているのだと思います。