至急教えてください！

質問

０≦ｘ≦πで定義された関数ｙ＝sinxcosxーsin²x＋１／２の最大値、最小値を求めなさい。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22

y=sin(x)*cos(x)-sin^2(x)+1/2
=(1/2)sin(2x)-(1/2){1-cos(2x)}+1/2　←倍角の公式
=(1/2){sin(2x)+cos(2x)}
={(√2)/2}sin{2x+(π/4)} ←三角関数の合成

０≦ｘ≦πなので　(π/4)≦2x+(π/4)≦2π＋(π/4)…(●)
での最大値は　(√2)/2
、最小値は　-(√2)/2
ですね。
最大値の時のxは　sin{2x+(π/4)}=1の時なので（●）から
　2x+(π/4)＝π/2 ←これからx が求まりますね。
最小値の時のxは　sin{2x+(π/4)}=-1の時なので（●）から
　2x+(π/4)＝3π/2 ←これからx が求まりますね。

お分かりになりましたでしょうか？

回答No.1

R_Earl

とりあえずsinxcosxが複雑で扱いにくいので、これを簡単な形にします。

sin(2x) = 2sinxcosxから、sinxcosx = (1/2)sin(2x)
これをy = sinxcosx - sin²x + 1/2に代入すると、

y = (1/2)sin(2x) - sin²x + 1/2

となります。
ある程度簡単になりましたが、
角が2xのsinと角がxのsinが混じっているのはやりづらいです。
そこで次にこの不揃いな角をどうにかします。

cosの2倍角の公式に慣れていると、
sin²xをcos2xの式に変形できることが思いつきます。
こうしてしまえば先ほどのyの式の角が全部2xに統一できます。
cos(2x) = 1 - 2sin&sup2xから、sin&sup2 = (1/2)(cos(2x) - 1)
これをy = (1/2)sin(2x) - sin²x + 1/2に代入すると

y = (1/2)sin(2x) - (1/2)(cos(2x) - 1) + 1/2
よってy = (1/2)(sin(2x) + cos(2x))

となります。
角度が2xに統一され、複雑なものも少なくなったので考えやすそうになりました。

この形まで変形できれば、
「三角関数の合成を利用して最大値・最小値を求める」
という風に考えることができます。