力学の問題です。

質問

力学の問題です

AからABの方向に物体aを投げ出し、同時にBからは別の物体bを自由落下させる。
いずれの物体も一度床に衝突したあと、互いに衝突するための条件を導け。床と衝突は完全弾性衝 突とする。

画像添付してます。

回答No.2

島崎 崇（@tadopika）

続きがありました。

4vy^3-6ghvy+2gh√(2gh)=0 ...[7]
vy/√(2gh)=x とおくと、[7]式は、
4x^3-3x+1=0
(x+1)(2x-1)^2=0
x>0より、x=1/2
vy=√(gh/2)
このとき、t1=t2=t=√(2h/g)
しかし、t1<t2<tであるから、x=1/2 は不適。
よって、解なし。
つまり、物体aの初速vがどのようであっても、物体a, bが床に跳ね返った後に、互いに衝突することはない。

因みに、aとbを結ぶ直線は、常に直線ABと平行になります。
そのため、aがbよりも先に床に衝突します（t1<t2）。
仮に、一度床に跳ね返ったaと、床に跳ね返る前のbが衝突する場合は、[6]式が
Yb'=h-1/2*gt^2 ...[6']
となります。この場合も、
vy=√(gh/2), t1=t=√(2h/g)
となり、t1<t に反します。
つまり、解なしです。

この場合も含めると、次のことが言えます。
"物体aの初速vがどのようであっても、物体aが床に跳ね返った後に、物体a, bが互いに衝突することはない。"

一方、良く知られているように、
"物体aの初速vがどのようであっても、物体aが床に跳ね返る前は、物体a, bは必ず衝突する。"

回答No.1

島崎 崇（@tadopika）

物体aの床からの高さをYa、物体bの床からの高さをYbとします。
物体aの初速度vについて、水平方向の成分をvx、垂直方向の成分をvyとします。
物体aの発射を基準に、物体aが床に衝突するまでの時間をt1、物体bが床に衝突するまでの時間をt2、又aとbが衝突するまでの時間をtとします。
重力加速度をgとすると、

vy/vx=h/d ...[1]
vxt=d ...[2]
t1=2vy/g ...[3]
t2=√(2h/g) ...[4]
Ya=vy(t-t1)-1/2*g(t-t1)^2 ...[5]
Yb=gt2*(t-t2)-1/2*g(t-t2)^2 ...[6]

[1]~[6] より、Ya=Yb として計算すると、
4vy^3-6ghvy+2gh√(2gh)=0

vyの3次式ということは、解は3つかな?