数学的帰納法って、本当に正しいの？

質問

数学的帰納法って、本当に正しいの？

ｋ＝１のときはわりとわかりやすいのですが、次の、

ｋ＝ｎのとき、与式が正しいと仮定して……の部分がよくわかりません。

ｋ＝ｎのとき、与式が正しくなかったらどうするの？って思っちゃいます。

ｋ＝ｎのとき、与式が正しくなかったらどうするのさ？って思っちゃいます。

数学的帰納法は正しいとどうして言い切れるのでしょうか。

特にK＝ｎのとき、与式は正しいってどうしてわかるのでしょうか。
もしくはどうしてｋ＝ｎのとき、与式は正しいと仮定するのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.7

aidlii

n=ｋとかn=k＋１とか書いてあるから分かりにくいのでしょうね。
　自然数について、ある性質が成り立つことを証明したい時に、その性質が、次の二つの条件を満たすことを証明すれば、全ての自然数で成り立つことを示せたことになるのではないでしょうか。
（１）その性質は、自然数の最初の数である１については成立する。
（２）その性質が、ある自然数で成立するならば、次の自然数でも成立する。
　この（１）（２）の条件を満たすことを証明できれば、その性質は、
（１）から１で成立。
　1で成立しているのだから（２）から１の次の自然数である２で成立。
　２で成立しているのだから（２）から2の次の自然数である３で成立。
　３で成立しているのだから（２）から３の次の自然数である４で成立。
　以下これを繰り返せば、どんなに大きい自然数でも、いつかは成立することが分かる。したがって、その性質が、全ての自然数で成立することを証明できたことになる。
　いかがでしょうか。ここまでは納得いただけますでしょうか。
　しかし、実際の数学の問題では「ある自然数」とか「次の自然数」という書き方では、書きづらい。だから「ある自然数」をｋで表し「次の自然数」をｋ＋１で表すのです。
　つまり、半ばお気づきの通り「ある自然数」ｋで成り立つというのは仮定なのです。「ある自然数」ｋで成立すると仮定すれば「次の自然数」ｋ＋１で成立することを示す。これで上に述べた（２）が示せるわけです。
　こんな説明でいかがでしょうか。それとも、すでに疑問はこれまでの回答か、自力で解決済みでしょうか。ならばそれに越したことはありません。

回答No.6

ymmasayan

数学的帰納法は正しいです。
文章を半分だけ読むとそういう疑問がでてしまいます。

↓の「任意の自然数 k に対し，P(k) が真であれば，P(k+1) も真である。 」
は続けて読んでください。
「であれば」が「仮定すれば」の部分ですね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

回答No.5

nag0720

＞ｋ＝ｎのとき、与式が正しくなかったらどうするの？って思っちゃいます。

「ｋ＝ｎのとき、与式が正しいと仮定して……」
この命題自体は、ｋ＝ｎのとき与式が正しいかどうかは関係ありません。「正しいとしたら……だ」と言っているだけです。

例えば、
１．「明日雨なら、明日の運動会は中止です」
２．「明日の運動会が中止なら、明後日は登校日です」
これらの命題は、明日雨かどうかに関係なく正しいですよね。
１は、「明日雨なら中止だけど、雨が降らなかったら運動会はやるかもしれないし、別の理由でやらないかもしれない」ということを言っているだけです。２も同様。
これだけなら、「明日雨が降る」「明日の運動会は中止」「明後日は登校日」は正しいかどうかは分かりません。

しかし、天気予報で明日の降水確率が100％となったら、明日の運動会の中止は確実となり、明後日は登校日も確実となります。

つまり、１，２の命題だけでは、仮定はあくまで仮定のままですが、「明日の雨が降る」が確実（事実）となった時点で、運動会の中止と明後日の登校日が確実（事実）となるのです。

これが、数学的帰納法の手法です。

回答No.4

koko_u_u

>数学的帰納法って、本当に正しいの？

実に深淵な問い掛けですね。
個別の 1 や 2 や 3 についての考察から「すべての n」なる摩訶不思議な結論を得るわけです。

我々はそのような数学的存在 = 自然数があるものとして、数学を展開しているのです。

回答No.3

alice_38

k=N のとき与式が成立しなかったら
どうなってしまうかと言うと、
『k=n のとき与式が成立すると仮定すると、
k=n+1 のときも与式が成立する』という
帰納ステップが、1≦n＜N の範囲の
どれかの n については成立しなくなるのです。

だから、数学的帰納法の手順で証明を
正しく完了することができたなら、
その与式については、そんなことは起こらない
ので、安心して宜しい。
『数学的帰納法が成立する』とは、
そういうことです。

では、数学的帰納法が成立すると
何故言えるのかといえば、
その部分には、根拠はありません。

数学的帰納法は、自然数の定義の一部であり、
単なる仮定です。
自然数を扱う際には、数学的帰納法は
成り立つものと合意した上で、数学を始めよう
…という、最初の約束なのです。

その約束に合意したくない人は、
世間の人とは異なる数学を
独りで行えばよいのでしょう。
もしかしたら、数学基礎論的に
面白いかもしれません。

回答No.2

Ae610

数学的帰納法
仮定1:n=1のとき成立
仮定2:n=kのとき成立すればn=k+1の時も成立
仮定1,2の成立によってNの全ての数に対して成立すること。

今、この結論を否定してみる。
自然数｛N｝の全ての数について成立たないと仮定する。すると結論が成り立たなくなる最初の数が存在しなければならない。それをmとする。（m∈N）
仮定1.によってmは1ではない。するとmの前の数が存在する。
（それを*mとする。(*m∈N)）
mは仮定が成立しなくなる最初の数であるからmの前の数*mに対しては仮定が成立するはずである。従って仮定2により、*mの後の数mに対しても成立しなければならないはずだが、mは仮定が成立しない最初の数としたことに矛盾する。
よって数学的帰納法は、Nの全ての数について成立する事が分かる。

回答No.1

naniwacchi

いままでにも同様の質問があったと思います。
一度、検索もしてみてください。

単純に言えば、「将棋倒し式」の証明法です。

・n= kのときに対して、「となりの」n= k+1が正しいということが示され、
・先頭（n=1）が正しいことが言えれば、
将棋倒し式に n= 2, 3, 4,…一般の nに対して命題が正しいと言えます。